Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бхатнагар П. -> "Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах " -> 28

Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.

Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах — М.: Наука, 1989. — 134 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniesistemivodnorodih1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 52 >> Следующая


vt — bvivx + vxxx = 0. (3.22)

Таким образом, если v эволюционирует согласно (3.22), то

и, определяемое уравнением (3.16), удовлетворяет уравне-
3.4. Независимость от времени спектра уравнения Шредингера 73

нию КдФ. Модифицированное уравнение КдФ имеет также бесконечное число полиномиальных законов сохранения вида (3.17), причем первые три из них имеют вид

T = v, X = V3U3 -f- vxx, (3.23)

т = 'I2V2, X = l/4v4 + Wxx - (3.24)

T = V4u4 - 3/2v2x, X = V6u6 + v3vxx - 3v2v\ - 3uxvxxx + 3/2v2xx.

(3.25)

Законы сохранения определяют интегралы модифицированного уравнения КдФ. Уравнение (3.21) устанавливает связь между упоминавшимися выше интегралами уравнения КдФ (3.16) и модифицированного уравнения КдФ (3.22). Эта связь справедлива для всех интегралов, за исключением интеграла

модифицированного уравнения КдФ ^ vdx, который не может

быть получен из интеграла уравнения КдФ при помощи преобразования (3.21). Для данной функции и соотношение (3.21) есть не что иное, как уравнение Риккати, которое может быть превращено в линейное уравнение при помощи хорошо известной подстановки

и = 'фж/'ф. (3.2о)

Уравнение для г|? есть одномерное уравнение Шредингера

¦фжл: — uty = 0 (3.27)

без членов, отвечающих ненулевым уровням энергии. Замечая, что уравнение КдФ инвариантно относительно преобразований

х->х'— 6с/', и->и' + с, (3.28)

в (3.27) могут быть введены и ненулевые уровни энергии.

Это также ведет к доказательству того, что собственные значения уравнения Шредингера

^хх + (Л — и) г|) = 0, (3.29)

где и эволюционирует согласно уравнению КдФ, суть не зависящие от времени функционалы от и, т. е. они являются интегралами уравнения КдФ (3.16). В следующем разделе мы докажем это.

3.4. Независимость от времени спектра уравнения Шредингера, определение параметров рассеяния

Докажем, что собственные значения уравнения Шредингера (3.29) не зависят от t, которое входит пераметрически в потенциал u(x,t), удовлетворяющий зависимому от вре-
74

3. Взаимодействие солитонов

мени уравнению КдФ. Из (3.29) имеем

“ = (3.30)
Подставляя (3.30) в (3.17), получаем1)
W + (ФRx --- $XR)X == 0, (3.31)
где R = ^t + $ххх --- --- Зг^г^/Ф = (3.32а)
= + $ххх --- 3 (и + X) г|>х. (3.326)
Интегрируя (3.31) по х от х = --- оо до + оо и рассматривая
нормированные волновые функции, получаем

Х( = 0 (3.33)

в силу граничных условий на г|з, а именно в силу того, что г|э и ее производные стремятся к нулю при |л:|->оо. Утверждение доказано.

Наиболее важное следствие этого результата заключается в том, что мы можем сразу же для всех моментов времени определить спектр уравнения Шредингера, используя начальное условие и(х, 0) = и0(х), заданное заранее для решения уравнения КдФ.

Для непрерывного спектра собственное значение X может быть принято не зависящим от t, следовательно, (3.33) должно выполняться. Подставляя (3.33) в (3.31), как для дискретного, так и для непрерывного спектров получаем

ч>/г«-/м>«=о, (з.з4)

что в силу (3.29) сводится к

Rxx~h{^ — u)R = 0. (3.35)

Таким образом, R также удовлетворяет уравнению Шредин-

гера, и мы можем взять

X

R — С (() г|> + D (0 ip jj dx/ilf. (3.36)

о

Рассмотрим теперь собственное значение X. Так как г|>->0 при |л:| —>- оо, то для ограниченности R мы должны принять

D = 0, (3.37)

и значит Я = С(/)г|), (3.38)

или из (3.32а) имеем

С (t) г|>2 = + №ххх — бАгМ* — Зг^**. (3.39)

1) Получение выражения (3.31) требует от читателя некоторой иску*

щенности в элементарных преобразованиях.—Прим. перев.
3.4. Независимость от времени спектра уравнения Шредингера 75

Интегрируя это соотношение по л: от — оо до оо и используя граничные условия на if и ее производные, а также усло-

+ 00

вие нормировки (d/dt) ^ i\>2 dx — 0, получаем

— 00

С (/) = 0, (3.40)

так что i|)t + if*** — — З-ф^-ф^^/ф = 0. (3.41)

При х —> -{- оо мы можем написать

if~cm(/)exp(-Kmx), = > 0. (3.42)

Подставляя (3.42) в (3.41), имеем (d/dt) cm = 4н3тст, интегрирование которого дает
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed