Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
Вычитая второе уравнение из первого и обозначая и — v через w, получим wt + uwx + vxw + wxxx = 0. Очевидно, w принадлежит классу С°°(—оо, оо) и стремится к нулю с производными любого порядка при |л:|—>-оо. Умножая последнее уравнение на w и интегрируя по всей оси, получим
-j-oo -j- оо
-Jj- ^ l/2w2dx-jr ^ (vx — l/2ux)w2 dx = 0.
-оо -оо
Вводя обозначения
+ оо
\ х!2и? dx = Е (t) и max \vx — l/2ux\ = m,
J — оо < JC+oo
-°° *>0
имеем dE/dt ^ mE, откуда интегрированием получим E(t)^ ^ E (0) exp (mt). А так как
-J-oo
E (0) = J >/2 [u (x, 0) — v (x, 0)]2 dx = 0,
— oo
to E(t) = 0 для всех t^0. Значит, w = 0. Это доказывает единственность решения. Из (а) и (б) следует, что собственные скорости являются функционалами от начальных условий. В гл. 3 мы рассматривали уравнение КдФ в форме
Uf 6UUX —UXxx
а соответствующее ему уравнение Шредингера в форме
d2tyldx2 + (Я — и) ф = 0, Х = — к2.
При этом решение типа уединенной волны имело вид
s (х, t)= — 2к2 sech2 {х (х — АкЧ)}.
В настоящем рассмотрении запишем уравнение КдФ в виде
ut + иих + иххх = 0 (4.6)»
«8
Общее уравнение эволюции
и заменим к на —к, так что соответствующее уравнение Шредингера и решение типа уединенной волны примут форму
d2i!p/dx2 + [— к + 76и] "ф = О, или La|) = A,a|), L = d2ldx2 + 76и, Я=х2, (4.7)
s(x, /) = Зс sech2 {(д/с /2) (x — с0}> ^ ^
где собственная скорость с = 4%2.
Заметим, что вышеуказанный выбор обусловлен только соображениями удобства анализа и не влияет на общность рассуждений.
4.2. Определения
В настоящем разделе мы введем некоторые определения, необходимые для наших рассмотрений. Пусть В — некоторое пространство функций, таких, что для каждого t решение u(t) уравнения эволюции
щ = К (и) (4.9)
принадлежит В. Предположим, что мы можем сопоставить
каждой функции и е В самосопряженный оператор L — L действующий на некотором гильбертовом пространстве Н, где символ и под L указывает на то, что L зависит от решения: и: «—>« и обладает следующими свойствами: если временное изменение подчиняется уравнению (4.9), то оператор L(t), который также зависит от времени t, остается унитарно эквивалентным.
Для определения термина «унитарная эквивалентность» необходимо ввести ряд определений, которые хорошо известны и будут упомянуты нз соображений полноты.
4.2.1. Сопряженный оператор
Пусть ф и )|)еЯ и L— оператор на Н, тогда L* назовем оператором, сопряженным к L, если
(Lcp, -ф) = (ф, L» (4.10)
для любых ф и if из области определения оператора, где ( ,) обозначает скалярное произведение в Н.
4.2.2. Самосопряженный оператор
Оператор L назовем самосопряженным, если он определен для каждого элемента еЯ и равен своему сопряженному оператору, т. е. L* = L, так что
(Lcp, -ф) = (ф, Li|>) (4.11)
для всех ф и фе//, если L — самосопряженный оператор.
4.2. Определения
99
4.2.3. Симметричные и антисимметричные операторы
Пусть L — оператор, определенный в Н. Если (Lcp, ip) = = (ф, Li|)) для всех ф, г|з е D, где D — область определения L, то L назовем симметричным оператором. Если же
(Хф, г|з)= (ф, (— /,)г|з), (4.12)
то назовем L антисимметричным оператором. Таким образом, L* = L для симметричного оператора L и L = —L* для антисимметричного L. Из определения ясно, что самосопряженный оператор необходимо симметричный.
4.2.4. Унитарный оператор
Оператор U, определенный для каждого элемента из И, называется унитарным, если
?/?/* = (./*?/=/, (4.13)
где /— тождественный оператор. Следовательно, для унитарного оператора U
и* = и~\ U = (U*)~\ ?/ = ?Г* = (?/“Т- (4.14)
где мы использовали общее свойство операторов:
7”*== Г. (4.15)
Мы будем также пользоваться следующим свойством операторов. Пусть Т и S — два оператора на Н, тогда
(TS)*=S*T*. (4.16)
4.2.5. Унитарная эквивалентность
Оператор L(t) называется «унитарно эквивалентным», если существует однопараметрическое семейство унитарных операторов U(t), таких, что
U~x (0 L(t)U (t) не зависит от t. (4.17)
Математически мы выразим этот факт следующим образом:
(d/dt)[U~l(t)L (/)?/(/)] = О,
нли [U~l]tLU + U~lLtU + U~lLUt = 0, (4.18)
где индексом t обозначена производная по времени t.
