Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бхатнагар П. -> "Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах " -> 26

Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.

Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах — М.: Наука, 1989. — 134 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniesistemivodnorodih1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 52 >> Следующая

Взаимодействие солитонов

3.1. Введение

В гл. 2 было получено решение типа уединенной волны и(х, /) = ию -fsech2 [Vй/ 12/С {* — («„, +а/3)/}] (3.1)

для уравнения КдФ

Uf -l*- иих -l*- Киххх == 0, (3-2)

когда два меньших корня р и у кубического уравнения du/dZ,^ f(u) = 0 равны. В данной главе ради простоты мы рассмотрим уравнение КдФ в виде

ut — 6иих + иххх — 0, (3.3)

полученного из уравнения (3.2) путем следующего преобразования:

х —> КХ13х, м — 6/С1/3«, /->/. (3.4)

Предположим, что начальное условие и(х, 0) — ио(х) ограничено и трижды непрерывно дифференцируемо, и так же, как в гл. 2, поставим следующее граничное условие:

u(x,t) вместе со своими производными —>-0 при | л: j —>-оо. (3.5)

При этих условиях решение уравнения (3.3) типа уединенной волны имеет вид

и (х, /) = — (а2/2) sech2 {(а/2) (х — а2/)}, (3.6)

где а в (3.6) можно легко выразить через а и К в (3.1), Цель этой главы состоит в изучении взаимодействия двух и более уединенных волн, что приведет нас к понятию соли-тона. Как уже упоминалось ранее, солитоны могут приобрести в будущем большое практическое применение,

3.2. Свойства уравнения Шредингера

Метод, который мы применим для изучения взаимодействия солитонов, основан на установлении связи между уравнением КдФ и одномерным стационарным уравнением Шредингера 1}. Основное достоинство такого подхода состоит в том, что мы сможем использовать свойства этого знаменитого

u Называемым также уравнением Штурма — Лиувилля. ^ Прим. перев.
3.2. Свойства уравнения Шредингера

69

уравнения, детально изученного за последние тридцать — сорок лет.

Ниже мы напомним читателю только те свойства уравнения Шредингера, которые понадобятся для наших рассмотрений. Для дальнейших ссылок мы отсылаем читателя к книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1974].

Итак, рассмотрим стационарное одномерное уравнение Шредингера

+ — и(*))г|з = 0, (3.7)

где и(х) — потенциал, X— значение энергии, г|э (х) — волновая функция. В квантовой механике функция г|э в (3.7) является волновой функцией частицы, движущейся во внешнем поле с потенциальной энергией и(х). Далее нам понадобятся следующие свойства решений уравнения (3.7):

1. Спектр X может быть либо дискретным, либо непрерывным, либо смешанным.

2. Дискретные точки спектра X, называемые собственными значениями, отрицательны и соответствуют устойчивым состояниям частиц, движущихся в ограниченных областях пространства. Будем обозначать собственные значения через

А, —— и2, ...... —%2т' гДе %1 > (З-8)

величины ut также будем называть собственными значениями.

3. Непрерывные точки спектра отвечают неограниченному движению частицы, когда она достигает бесконечности. На достаточно больших расстояниях потенциальным полем и(х) можно пренебречь и считать частицу свободной. Энергия свободной частицы положительна, следовательно, значения X непрерывного спектра положительны. Обозначим их через

l = k2, k>0. (3.9)

4. В классической механике частица с энергией Е не может проникнуть в область Е < и(х). Однако в квантовой механике частица при движении в конечной области может находиться в областях пространства, где Е<Си(х), хотя вероятность этого мала, но не равна нулю и быстро стремится к нулю при увеличении расстояния проникания в эту область.

5. Ни одно значение дискретного спектра не является вырожденным, т. е. каждому собственному значению соответствует одна и только одна собственная функция, как видно из следующего. Пусть две собственные функции соответствуют собственному значению X. Тогда имеем

1 JCjc/ ^ 1 == ^ ^ == ИЛИ 'Ф^^'Фг ^2**^1 ==

т. е., интегрируя один раз, получаем — ^2*% = const = = 0 в силу граничного условия ipi, 2-»-0 при Следо-
70

3. Взаимодействие солитонов

вательно, имеем tyix/tyi = откуда после интегрирова-

ния находим i)3i = const грг, т. е. две собственные функции различаются лишь постоянным множителем. Непрерывный же спектр вырожден.

6. Расположим собственные значения по возрастающим величинам: Xi ¦< Х2 ¦< Х3 ¦< ... <.’кт ипустЬ1|з„ соответствует %п. Тогда (/г+1)‘я собственная функция имеет п нулей в ограниченном интервале на оси х, в котором происходит движение частицы.

7. Рассмотрим потенциал и(х)->-0 при |л:|->оо. Тогда при

| х | —>¦ оо уравнение Шредингера имеет следующую асимптотическую форму: + ==0. Для дискретного спектра оно

записывается в виде — x2i|) = 0 и имеет два независимых решения

¦ф = с± ехр (± кх). (3.10)

Ясно, что при х-^оо допустимым решением является ехр(—кх) и при х-=>-----оо решение есть ехр (юс). Для непре-

рывного спектра уравнение Шредингера принимает вид tyxx + + k2ty = 0, и его два независимых решения даются формулами
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed