Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
Взаимодействие солитонов
3.1. Введение
В гл. 2 было получено решение типа уединенной волны и(х, /) = ию -fsech2 [Vй/ 12/С {* — («„, +а/3)/}] (3.1)
для уравнения КдФ
Uf -l*- иих -l*- Киххх == 0, (3-2)
когда два меньших корня р и у кубического уравнения du/dZ,^ f(u) = 0 равны. В данной главе ради простоты мы рассмотрим уравнение КдФ в виде
ut — 6иих + иххх — 0, (3.3)
полученного из уравнения (3.2) путем следующего преобразования:
х —> КХ13х, м — 6/С1/3«, /->/. (3.4)
Предположим, что начальное условие и(х, 0) — ио(х) ограничено и трижды непрерывно дифференцируемо, и так же, как в гл. 2, поставим следующее граничное условие:
u(x,t) вместе со своими производными —>-0 при | л: j —>-оо. (3.5)
При этих условиях решение уравнения (3.3) типа уединенной волны имеет вид
и (х, /) = — (а2/2) sech2 {(а/2) (х — а2/)}, (3.6)
где а в (3.6) можно легко выразить через а и К в (3.1), Цель этой главы состоит в изучении взаимодействия двух и более уединенных волн, что приведет нас к понятию соли-тона. Как уже упоминалось ранее, солитоны могут приобрести в будущем большое практическое применение,
3.2. Свойства уравнения Шредингера
Метод, который мы применим для изучения взаимодействия солитонов, основан на установлении связи между уравнением КдФ и одномерным стационарным уравнением Шредингера 1}. Основное достоинство такого подхода состоит в том, что мы сможем использовать свойства этого знаменитого
u Называемым также уравнением Штурма — Лиувилля. ^ Прим. перев.
3.2. Свойства уравнения Шредингера
69
уравнения, детально изученного за последние тридцать — сорок лет.
Ниже мы напомним читателю только те свойства уравнения Шредингера, которые понадобятся для наших рассмотрений. Для дальнейших ссылок мы отсылаем читателя к книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1974].
Итак, рассмотрим стационарное одномерное уравнение Шредингера
+ — и(*))г|з = 0, (3.7)
где и(х) — потенциал, X— значение энергии, г|э (х) — волновая функция. В квантовой механике функция г|э в (3.7) является волновой функцией частицы, движущейся во внешнем поле с потенциальной энергией и(х). Далее нам понадобятся следующие свойства решений уравнения (3.7):
1. Спектр X может быть либо дискретным, либо непрерывным, либо смешанным.
2. Дискретные точки спектра X, называемые собственными значениями, отрицательны и соответствуют устойчивым состояниям частиц, движущихся в ограниченных областях пространства. Будем обозначать собственные значения через
А, —— и2, ...... —%2т' гДе %1 > (З-8)
величины ut также будем называть собственными значениями.
3. Непрерывные точки спектра отвечают неограниченному движению частицы, когда она достигает бесконечности. На достаточно больших расстояниях потенциальным полем и(х) можно пренебречь и считать частицу свободной. Энергия свободной частицы положительна, следовательно, значения X непрерывного спектра положительны. Обозначим их через
l = k2, k>0. (3.9)
4. В классической механике частица с энергией Е не может проникнуть в область Е < и(х). Однако в квантовой механике частица при движении в конечной области может находиться в областях пространства, где Е<Си(х), хотя вероятность этого мала, но не равна нулю и быстро стремится к нулю при увеличении расстояния проникания в эту область.
5. Ни одно значение дискретного спектра не является вырожденным, т. е. каждому собственному значению соответствует одна и только одна собственная функция, как видно из следующего. Пусть две собственные функции соответствуют собственному значению X. Тогда имеем
1 JCjc/ ^ 1 == ^ ^ == ИЛИ 'Ф^^'Фг ^2**^1 ==
т. е., интегрируя один раз, получаем — ^2*% = const = = 0 в силу граничного условия ipi, 2-»-0 при Следо-
70
3. Взаимодействие солитонов
вательно, имеем tyix/tyi = откуда после интегрирова-
ния находим i)3i = const грг, т. е. две собственные функции различаются лишь постоянным множителем. Непрерывный же спектр вырожден.
6. Расположим собственные значения по возрастающим величинам: Xi ¦< Х2 ¦< Х3 ¦< ... <.’кт ипустЬ1|з„ соответствует %п. Тогда (/г+1)‘я собственная функция имеет п нулей в ограниченном интервале на оси х, в котором происходит движение частицы.
7. Рассмотрим потенциал и(х)->-0 при |л:|->оо. Тогда при
| х | —>¦ оо уравнение Шредингера имеет следующую асимптотическую форму: + ==0. Для дискретного спектра оно
записывается в виде — x2i|) = 0 и имеет два независимых решения
¦ф = с± ехр (± кх). (3.10)
Ясно, что при х-^оо допустимым решением является ехр(—кх) и при х-=>-----оо решение есть ехр (юс). Для непре-
рывного спектра уравнение Шредингера принимает вид tyxx + + k2ty = 0, и его два независимых решения даются формулами