Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
¦ф = а±(&)ехр(±г&.к). (3.11)
Здесь решение exp(i^x) отвечает частице, движущейся в положительном направлении оси х, в то время как решение ехр(—ikx) отвечает частице, движущейся в отрицательном направлении оси х.
8. В нашем рассмотрении, используя и(х, t), определяемое уравнением КдФ (3.3) как потенциал в уравнении Шредингера, будем считать t параметром, так что собственные значения и собственные функции (а также элементы непрерывного спектра) уравнения Шредингера будут зависеть от t параметрически. Итак, мы можем записать
X — X(t), -ф = (х) t). (3.12)
9. При * оо и и-v 0 волновую функцию непрерывного спектра можно представить асимптотически в виде линейной комбинации двух гармонических волн ехр (±ikx) и аналогично при х-*—оо. Рассмотрим волну, приходящую из X = оо. Можно записать
¦ф <— ехр (— ikx) + Ъ (k) ехр (ikx) при
•ф ~ a (k) ехр (— ikx) при х-> — оо, (3*13)
где комплексные числа b(k) и a(k), зависящие от волнового числа, есть коэффициенты отражения и прохождения соответственно. Здесь взята падающая волна единичной амплитуды, В случае дискретного спектра кт собственные функции
3.2. Свойства уравнения Шредингера
71
фт-^-О при | л' | оо и квадраты их интегрируемы, значит, мы можем нормировать ее по следующему правилу:
+ оо
J 1. (3.14)
— оо
Из закона сохранения энергии имеем: энергия падающей волны равна сумме энергии отраженной волны и энергии прошедшей волны, т. е.
1 = | а21 + | 621, (3.15)
a Km, cm, b(k) и a (k) образуют параметры рассеяния для волны.
10. Уравнение Шредингера является уравнением второго порядка, и поэтому необходимо рассматривать два его независимых решения. Предположим, что ф— одно из решений, а Ф — другое линейно независимое решение уравнения, тогда Ф**+(А,— ы)ф = 0. Делая подстановку ф = фХ и используя соотношение tyxx -f (А — и)г(з = 0, имеем Ххх/Хх -f 2tyx/ty = 0, проинтегрировав которое получим Хх = А/§2. Отсюда Х =
= А ^ dxjty2 + В, и другое решение имеет вид
Ф = Лф ^ dx/ty2 +
Мы можем опустить второй член справа, так как он будет включен в член, содержащий ф. Поэтому мы можем принять
X
q) = a]) ^ dxh|э2.
о
11. Пусть потенциал и(х) — четная функция. Тогда урав-
нение Шредингера инвариантно относительно преобразования х-*-—х. Следовательно, если гр(jc)—собственная функция, то г|)(—я) — тоже собственная функция и они равны с точностью до постоянного множителя: г|)(—x) = cty(x). Еще раз применяя преобразование х->—х, получаем гр (jc) = = сф (—я) = с2г(з (я), так что с = ± 1 и г|) (—я) = ±г|) (х). Поэтому если потенциал симметричен относительно х = 0, то волновая функция стационарных состояний либо четная, либо нечетная. Этот результат следует из предположения, что дискретный спектр оператора Шредингера невырожден. Если мы не будем делать этого предположения, то при преобразовании х—>-----х две собственные функции с одним и тем же
собственным значением могут просто переходить друг в друга.
72
3. Взаимодействие солитонов
3.3 Интервалы уравнения и связь между уравнениями КдФ и Шредингера
Запишем уравнение КдФ
ut — 6иих + иххх = 0 (3.16)
в форме закона сохранения
Tt + Xx = 0, (3.17)
где Т — и, X = —Зи2 + ихх. Если мы предположим, что функция и периодична по х либо что к и ее производные исчезают достаточно быстро при л:->±оо, то, интегрируя закон сохранения (3.17), получим
-щ- ^ Т dx = 0 или dx = I, где I не зависит от времени.
(3-18)
Таким образом, I = ^и dx с пределами интегрирования ± оо
или двумя концами периода по х есть не зависящий от времени функционал на решениях уравнения КдФ. Мы назовем не зависящий от времени функционал интегралом уравнения. Миура, Гарднер н Крускал [1968] показали, что уравнение КдФ имеет бесконечное число полиномиальных законов сохранения. Первый из них выписан выше. Следующий может быть выведен при помощи умножения (3.16) на и, так что
Т = '/гм2, * = 7зы3 + иихх - Чги2х. (3.19)
Третий был выведен Уиземом в 1967 году: т = 7з«3 - и2х, X = 74и4 + иЧхх - 2ии2х - 2ихиххх + и\х. (3.20)
Так как каждый закон сохранения дает интеграл уравнения КдФ, ясно, что уравнение КдФ имеет бесконечное число интегралов вида (3.18). Однако это не единственные интегралы, как мы вскоре увидим. Объясним теперь, каким образом впервые возникло уравнение Шредингера при изучении уравнения КдФ- Подставим
u = v2 + ux (3.21)
в уравнение КдФ (3.16). Тогда получим уравнение
2v (vt — 6v2vx + vxxx) + (vt — 6v2vx + vxxx)x = 0,
которое удовлетворяется, когда v удовлетворяет модифицированному уравнению КдФ
