Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрение взаимодействия солитонов в гл. 3 основывалось на возможности связать нелинейное уравнение КдФ с линейным одномерным уравнением Шредингера для стационарных состояний; решение u(x,t) уравнения КдФ играло роль потенциала в уравнении Шредингера, а время t рассматривалось как параметр. Эта техника позволила использовать известные свойства собственных значений и функций уравнения Шредингера. Успех метода был обеспечен открытием замечательного свойства этого уравнения, которое состоит в том, что спектр оператора Шредингера с потенциальной энергией, определяемой из уравнения КдФ, не зависит от времени. В результате этот спектр мог быть определен для всех моментов времени лишь при помощи начального условия и(х, 0), взятого в качестве потенциальной функции уравнения Шредингера.
Лаке [1968] в работе, открывшей новое направление в математической теории нелинейных волн, поставил вопрос о возможности изучения таким же образом общего уравнения эволюции
Щ=К(и), (4.1)
где К — нелинейный оператор, действующий на функцию и и не содержащий явно независимых переменных х и /, и получил положительный ответ.
Сейчас мы рассмотрим метод Лакса, а затем применим его в качестве иллюстрации к рассмотренному ранее уравнению КдФ. Математические средства исследования общего уравнения (4.1) по необходимости должны быть более общими, чем те, которые использовались нами ранее.
Интересно отметить, что исследования Лакса шли параллельно с изучением уравнения КдФ. Это не удивительно, поскольку главная его цель заключалась в объяснении существования солитонов, скрытых в произвольном решении.
Рассмотрим решения уравнения КдФ, принадлежащие классу функций С°°, определенных на вещественной оси
— ооСхС + оо и стремящихся к нулю со своими производными любого порядка при |x|->oo. Заметим, что решения уравнения КдФ типа уединенной волны принадлежат указанному классу функций. Заметим также, что мы изучали существование солитонов с помощью исследования асимптотического поведения безотражательных решений. В частности, мы
96
4. Общеее уравнение эволюции
показали, что существует последовательность положительных скоростей ср = 4хр, р— 1, 2, N, и соответствующий на-
бор фаз \р, таких, что
lim и{х, t) = \ ^ ПрИ С==Ср' (4.2)
t-*±o° I 0 при с ф с„,
\ фикс. 4
где I = х — ct—координата, движущаяся со скоростью с, и кр — дискретные собственные значения оператора Шредингера с безотражательным потенциалом u(x,t). Наша цель в настоящей главе состоит в том, чтобы показать, что результат (4.2) верен для произвольного решения u(x,t) уравнения КдФ.
Итак, ср зависит от выбора решения u(x,t) уравнения КдФ. Мы выразим этот факт, назвав ср функционалом от а и написав символически
с„ = ср(и). (4.3)
Обозначим решение (4.1) типа уединенной волны в виде
5==s (ё), l = x — ct. (4.4)
В гл 3 мы ввели понятие интеграла уравнения КдФ, согласно которому собственные скорости ср являются инвариантными функционалами, или интегралами. Математически факт инвариантности можно выразить следующим образом. Если и' и и" являются значениями и для двух различных моментов времени t' и t", то
ср (и') = Ср (и"). (4.5)
Аналогично из рассмотрения солитонных решений мы заключаем, что разности фаз также являются «интегралами» уравнения КдФ. В гл. 3 мы также упомянули, что
Миуре, Гарднеру и Крускалу удалось доказать существование бесконечной последовательности интегралов уравнения КдФ. Они предложили метод построения этих интегралов. Интегралы, или не зависящие от времени функционалы, могут существовать также на решениях общего уравнения (4.1). В этой главе мы изучим их свойства.
Первой нашей задачей является введение линейного уравнения, аналогичного уравнению Шредингера, для уравнения
(4.1). Затем мы докажем независимость от времени собственных значений этого уравнения. Эти собственные значения будут интегралами уравнения (4.1). Предположения, которые будут сделаны при изучении уравнения (4.1), подсказываются следующими важными свойствами уравнения КдФ:
4.1. Введение
97
(а) Уравнение КдФ всегда имеет решение, соответствующее заданным начальным условиям, обладающим достаточной гладкостью и быстро убывающим при |х|->-оо.
(б) Решения уравнения КдФ, принадлежащие классу 0°(—оо, оо) и стремящиеся к нулю со своими производными любого порядка при J л:|—»- оо, определяются единственным образом через свои начальные значения.
Доказательство этой теоремы единственности легко получить следующим образом. Пусть ио(х)—заданное начальное условие, а и и v — два возможных решения, имеющих ио(х) в качестве начального условия. Тогда
ut + uux + uxxx = 0, vt + vvx + vxxx = 0.
