Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
щем разделе будет показано, что используемые в нем начальные условия и0(х) являются безотражательными потенциалами.
3.6. Солитонные решения уравнения КдФ
Чтобы проиллюстрировать метод обратной задачи теории рассеяния, в этом разделе мы рассмотрим простые случаи одно- и двухсолитонных решений уравнения КдФ- Это рассмотрение покажет, что одному собственному значению уравнения Шредингера соответствует только одно солитонное решение и наоборот. Мы установим аналогичный факт для общего случая N солитонов в следующем разделе.
3.6.1. Односолитонное решение
Мы рассматриваем этот случай лишь для того, чтобы проверить наш метод. Решение (3.6) уравнения (3.3) соответствует начальному условию и0(х) = —у2а2sech2(I/2a^). Для определенности возьмем а = 2, так что стационарное решение уравнения КдФ (3.3), отвечающее начальному условию
и0 (х) = — 2 sech2 х, (3.57)
имеет вид
и{х, t) = — 2sech2(х — it). (3.58)
Теперь постараемся получить решение (3.58) при помощи обратной задачи теории рассеяния при начальном условии (3.57). Таким образом, в прямой задаче рассеяния мы должны решить задачу на собственные значения для уравнения Шредингера:
¦фл* + (2sech2 х + Я) г|з = 0. (3.59)
Потенциал (3.57), который появляется в (3.59), является безотражательным, т. е. b (k, 0) = 0 для непрерывного спектра. Кэй и Мозес [1956] детально рассмотрели весь класс
безотражательных потенциалов, частным случаем которых является (3.57) (и (3.84) в следующем разделе). Итак, сделав эти предположения, определим теперь дискретный спектр. Следуя Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицу [1974], представим решение уравнения (3.59) через гипергеометрические функции. Сначала подставим
г|5 = (0sechsjc (3.60)
в (3.59), тогда получим
со** — 2s (th х)аж + со [(2 — s — s2) sech2Jt + X + s2] = 0. (3.61)
3.6. Солитонные решения уравнения КдФ
79
Если мы хотим, чтобы коэффициент при со не зависел от х, то должны выбрать s2 + s— 2 = 0, т. е. s = 1, —2.
Выберем s=l. (3.62)
При этом выборе уравнение (3.61) принимает вид
&хх — 2 (th Л-) ®jc —(-^ ~t- 1) ш == 0, (3.63)
где if = со sech х. (3.64)
Чтобы привести (3.63) к стандартной форме гипергеомет-рического уравнения
х(1 — х)ухх + [у — (а + Р+ 1)х]ух — а$у = 0, (3.65)
сделаем подстановку
I = sh2*. (3.66)
Тогда получим следующее уравнение, определяющее со:
6 (1 + 6) о» + ЧгЩ + lU (1 ~ *2) ® = 0, (3.67)
где
со = (1 +|)1/!Ч (3.68)
причем здесь формально принято
А = — и2. (3.69)
Так как uQ(x)=—2/ch2x — четная функция от х, решение ф уравнения Шредингера (3.59) может быть либо четным по х, либо нечетным. Более того, определенная уравнением
(3.66), есть четная функция х, a Vi ~ нечетная функция х. Заметим, что, согласно (3.66), ?->оо при я-*-±оо. Следовательно, так как if->0 при |*|->оо (т. е. при |->оо), то ю/(1 +1)1/2-*-0 при ?->оо. Четные и нечетные (по х) ин-
тегралы уравнения (3.67) имеют вид
«1 = F(- 7а + к/2, - >/2 - к/2, 72, -?), (3.70)
<*2 = VIF(k/2, -к/2, %, -$). (3.71)
Так как ю должно быть ограничено в особой точке ? = —1
уравнения (3.67), выражения (3.70) и (3.71) должны быть полиномами. Далее имеем
... F (- ¦/. + «/2, - ¦/. - «/2, 42, -Ю г
!>i-У= . (3.72)
fc- Vt+Tf № ~%!2’ 8/* “*)• (3-73)
Значения к, при которых и ю2 являются полиномами, a ifi и if2 стремятся к нулю при ?->оо, соответствуют дискретному дпектру, Так как (|/(1 1 при ?->оо, уравнение
80
3. Взаимодействие солитонов
(3.73) теряет смысл, если мы положим х = 0. Уравнение (3.72) дает приемлемое решение только тогда, когда
— 7г + х/2 = 0, или и=1, или к — —1. (3.74)
Следовательно, уравнение Шредингера имеет единственное собственное значение и = 1. Собственная функция, соответствующая безотражательному потенциалу (3.57), имеет вид
г|> = а/(1 -fg)1/2 = a/chx, где а определяется из условия нормировки для г|э:
+ оо
а2 ^ sech2Ardx=l или а = l/V2~>
— ОО
и нормированная собственная функция имеет вид
г|5 = (l/V2 ) sechx. (3.75)
Используя уравнение (3.10) при х=1 и уравнения (3.74), (3.75), имеем
с (0) = lim г|э (х)ехрх = л]2 . (3.76)
