Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
j2-x2 = t2, (13.10)
где т — период источника. На рис. 13.5 дано увеличенное изображение области пространства-времени вблизи наблюдателя и отмечены промежутки времени т и т'. Как видно из чертежа, скорость наблюдателя примерно равна 0,43, а соответствующее доплеровское смещение т'/т = 1,6.
Теперь решим эту задачу аналитически. 4-скорость источника — это просто Ї, а 4-скорость движущегося наблюдателя —
\ t — 1 (..{. I f\ , ... [По поводу этой формулы см.
А "VTr^2 °3' ° стр.100.] 108
Гл. I. Специальная теория относительности
Гребни волн
Источник
Рис. 13.4
Здесь изображены только те мировые линии и метрические фигуры, которые имеют непосредственное отношение к рассматриваемому физическому процессу. Оси координат не показаны умышленно, поскольку в них нет необходимости. Чтобы найти времениподоб-ное направление, достаточно взглянуть на метрические фигуры.
Рис. 13.5
Увеличенное изображение области пространства-времени, прилегающей на рис. 13.4 к мировой линии приемника.
Обратите внимание, что, согласно формуле (13.9), величина доплеровского смещения зависит от направления вектора а, но не от его длины. Правильно направленный вектор описывается формулой
<г = ?+х, (13.12)
откуда следует, что
т сг • X 1 — V V1 — U
Вращающийся диск
Пример 2
Заслуживает внимания еще одна задача, а именно расчет доплеровского смещения частоты источника, расположенного на ободе маховика, когда приемник находится на его оси. Пусть маховик радиусом а вращается с угловой скоростью 0 по отношению к канонической системе отсчета. Такого рода эксперименты были выполнены на самом деле, и их результаты подтвердили выводы СТО.
Нам снова нужно найти три вектора X, X' и а. Соответствующая геометрическая конфигурация приведена на рис. 13.6. Мировая линия приемника — это просто прямая
X = у = Z = 0.
(13.14) 13. Доплеровское смещение
109
Мировой линией источника является пространственно-временная винтовая линия
X = a cos Sit,
у== а sin Sit, (13.15)
z = 0.
Рассмотрим световой сигнал, испущенный в момент времени t = 0. Уравнения его мировой линии имеют вид
Мировая линия приемника
X = а — t,
У = Z = 0.
(13.16)
Мировая линия — источника
Ллосность
y-t
Это правильная мировая линия, поскольку она удовлетворяет
следующим трем условиям: 1) ее касательный вектор изотро- „
Рис. 13.6
пен; 2) она проходит через событие (а, 0, 0, 0), соответствую- Трехмерная пространственно-вре-щее посылке сигнала; 3) она пересекает мировую линию прием- менная диаграмма, ника. Мы можем найти касательные векторы к этим мировым линиям, преобразовав уравнения последних к очевидным параметрическим формам. Уравнения мировой линии источника можно записать в виде
X = a cos Slu,
у = a sin Пи, (13.17)
z = 0, t = и,
и т. д.
В результате получаются следующие формулы для касательных векторов:
X' « f,
X « І — aSl sin Sit X + aSl cos Sit у,
<т = t — X.
(13.18)
(13.19)
(13.20) [См. формулу (12.26).]
Здесь стоят знаки пропорциональности вместо знаков равенства, поскольку нормировка пока не обсуждалась. Нормированные 4-скорости имеют вид
X' = ?,
X =
1
V1 — Ct2Sli
(i+aSly).
(13.21)
(13.22) 110
Гл. I. Специальная теория относительности
Вектор а не нуждается в нормировке. В результате несложных расчетов, связанных в основном с вычислениями скалярных произведений, получается следующая формула для доплеров-ского смещения частоты:
г' _ а-к _ 1 (13.23)
т O--X' Vl -Ct2W
Итак, единственная трудность, которая остается при использовании нашего 4-векторного формализма, связана с построением пространственно-временной диаграммы, адекватной рассматриваемой ситуации.
Общая стратегия, которой мы старались следовать в предыдущих разделах, сводилась к поиску ковариантных описаний, пригодных в любой системе отсчета. Такая стратегия исключает необходимость в выполнении множества преобразований Лоренца, что обычно практикуется в различных руководствах по СТО. Вывод формулы доплеровского смещения (13.9) — прекрасный пример такой стратегии. И раз уж мы занимается светом, не будет лишним рассмотреть еще один пример. Каков угол между направлениями движения двух световых сигналов с точки зрения того или иного наблюдателя? Наблюдатели, движущиеся с различными скоростями, обнаружат разные углы между двумя одними и теми же лучами све-Аберрация та. Такое явление называется аберрацией света. Чтобы получить не только качественный, но и количественный ответ на поставленный вопрос, необходимо рассмотреть соответствующую задаче геометрическую конфигурацию. Вся необходимая нам геометрическая информация исчерпывается заданием трех векторов: 4-скорости наблюдателя и двух изотропных векторов, касательных к мировым линиям световых сигналов. Следующий ниже расчет служит хорошим упражнением в использовании 4-векторов для получения корректной формулы интересующего нас явления.
Будем рассуждать в том же духе, что и раньше. Сначала обсудим поставленную задачу в некоторой частной канонической системе отсчета. Затем с помощью 4-векторов сформулируем полученный результат в таком виде, чтобы он не зависел от выбора системы отсчета. На рис. 13.7 приведена диаграмма рассматриваемой ситуации в канонической системе отсчета, Геометрия пространства-времени связанной с наблюдателем. На диаграмме показаны два вектора а и а', касательные к мировым линиям световых сигналов. 13. Доплеровское смещение 111
