Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
13. Доплеровское смещение
Доплеровское смещение
Геометрия пространства-времени
[Следует помнить, что изотропным называется 4-вектор, удовлетворяющий условию а ¦ а = О, и что это не нулевой вектор.]
Мы теперь достаточно подготовлены, чтобы дать простой и полный анализ доплеровского смещения. Это не толькр хороший пример работы с 4-векторами, но и хорошая практика. Позднее нам придется выполнять аналогичные расчеты в искривленном пространстве-времени. Систематическое красное смещение, наблюдаемое в спектрах далеких галактик, свидетельствует о динамически эволюционирующей Вселенной — важнейшем представлении современной космологии. Мы также кратко остановимся на явлении аберрации света — смещении видимых положений объектов, обусловленном движением наблюдателя. Обсуждение аберрации является хорошим упражнением, хотя оно и не имеет прямого отношения к космологии.
Доплеровское смещение — это изменение частОтг>1 периодического сигнала вследствие относительного движения источника и приемника. Рассмотрим доплеровское смещение частоты только для света, считая периодический сигнал последовательностью световых сигналов. Собственно, нужны лишь два сигнала. Предположим, что это два следующих друг за другом гребня волны, которая и является периодическим сигналом. Такая идеализированная картина схематически изображена на рис. 13.1.
Для описания рассматриваемой ситуации нужны три различных 4-вектора. Движения источника и приемника определяются двумя векторами 4-скорости, а их относительное расположение в пространстве-времени — изотропным вектором а, который соединяет события, соответствующие испусканию и приему светового сигнала. Упрощенная геометрическая схема эксперимента показана на рис. 13.2. Будем считать, что период 13. Доплеровское смещение 105
Рис. 13.1
Слева изображена пространственно-временная диаграмма для электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси* вправо. Штриховые мировые линии соответствуют гребням волн. Справа показано изменение амплитуды волны ? как функциих в сечении пространственно-временной диаграммы, отмеченном двойной чертой.
Рис. 13.2
Геометрия эксперимента nQ измерению доплеровского смещения. Метрическая фигура заданная в момент события Е, показывает, что векторы X и X' нормированы как подобает 4-скоростям. 106
Гл. I. Специальная теория относительности
[Напоминаем: если X представляет собой 4-скорость, то отрезок мировой линии, соответствующий промежутку времени 7, определяется вектором тХ. См. стр. 100.]
рассматриваемых колебаний столь мал, что источник и приемник не успевают сильно сместиться за соответствующий промежуток времени. Пусть т — промежуток собственного времени источника, равный его периоду, а т' — соответствующий интервал собственного времени наблюдателя, расположенного рядом с приемником. Мы хотим найти отношение т' к т при условии, что эти величины очень малы. Геометрическое построение для двух следующих друг за другом световых сигналов схематически представлено на рис. 13.3. В пространстве-времени мы имеем четырехугольник, две' противоположные стороны которого образованы отрезками мировых линий световых сигналов. Две другие стороны — это отрезки мировых линий источника и приемника. Следует иметь в виду, что диаграмма не может быть плоской, за исключением случая, когда источник и приемник движутся только вдоль соединяющей их прямой.
Из чертежа видно, что интересующая нас фигура будет замкнутой, если
где а — изотропный 4-вектор, касательный к мировой линии первого светового сигнала, а а + е — изотропный 4-вектор мировой линии второго светового сигнала, отличающийся от а на малый вектор е, который стремится к нулю по мере неограниченного уменьшения величин т' ит. Итак, мы имеем две 4-скорости
Геометрическое построение для двух следующих друг за другом гребней волны. Это не плоская фигура; так, световые сигналы идут не под углом в 45° к вертикали.
тХ + о- + е = т'Х' + «т.
(13.1)
X-X = -I
(13.2)
X' -X' =-1
(13.3)
и два изотропных вектора
O--O- = O.
(13.4) 13. Доплеровское смещение
107
(сг + е) • (сг + е) =0. (13.5)
Спецрелятивистское скалярное произведение подчиняется обычному закону дистрибутивности операции умножения, так что последнюю формулу можно записать в виде
(2<г-е) + (є-є) =0. (13.6)
В пределе, при стремлении є к нулю, квадрат вектора є становится меньше других членов, и мы имеем
О- • е 0. (13.7)
Если обе части равенства (13.1) умножить скалярно на а, то получим
T(O--X)=T'(о--X'), (13.8)
Результат
[В разд. 23 дан другой вывод формулы.]
откуда сразу следует искомое отношение
= (13 9)
т (сг-Х')
Как мы и ожидали, в это выражение входят только три вектора X, X' и ст.
Пример 1
Найдем доплеровское смещение в частном случае движения по Движение вдоль прямой прямой. Этот случай настолько прост, что позволяет получить даже графическое решение. Будем работать в канонической системе отсчета, связанной с источником. Соответствующая пространственно-временная диаграмма приведена на рис. 13.4. На каждом краю диаграммы начерчена гипербола
