Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Столкновения частиц Описание динамики столкновения частиц можно без особых затруднений привести в соответствие с существованием лоренцевой симметрии. В ньютоновой механике столкновения подчиняются законам сохранения энергии и импульса. А как это выглядит с пространственно-временной точки зрения? К счастью, обобщение производится элементарно. Будем описывать частицу 4-вектором, определяемым направлением ее мировой линии, но таким, что его пространственные компоненты связаны с обычным импульсом, а временнйя компонента — с энергией.
4-импульс Этот 4-вектор называется 4-импульсом и представляет собой 14. 4-импульс
115
физическую величину с лоренцевой симметрией. Следовательно, это ковариантная величина. Как и раньше, для построения ковариантных описаний легче всего пользоваться 4-векторны-ми соотношениями. Если 4-импульс р связан только с 4-скоро-стью X, то единственное соотношение, которое мы можем написать, имеет вид
P = тк,
(14.1)
где постоянный коэффициент пропорциональности т не зависит от X. Выясним смысл этого соотношения в случае, когда скорость частицы мала по сравнению со скоростью света. 4-скорость такой частицы
X =
1
VT=
V'
(v + i)
(14.2)
с хорошей степенью точности можно записать в виде
X = t; + (1 (14.3)
откуда следует, что
р = mv + (т + imv2)i.
(14.4)
Если т — масса частицы, то, согласно определению 4-импульса, его пространственная часть р в данном приближении — это обычный 3-импульс, а временная компонента представляет собой сумму кинетической энергии и массы покоя. При столкновениях с малыми скоростями сохраняются полные 3-имПульс, энергия, а также масса. Следовательно, при таких столкновениях будет сохраняться и полный 4-импульс рассматриваемой системы.
Чтобы получить лоренц-инвариантное обобщение динамики столкновений, достаточно потребовать сохранения полного 4-импульса системы при любых столкновениях. Это более слабый закон сохранения, чем в ньютоновой механике, ибо здесь не требуется раздельного сохранения массы и энергии. Наверняка каждый найдет убедительные подтверждения этого.
Масса покоя
[Мы обозначили эту постоянную буквой т. В нескольких следующих строчках будет показано, что т следует считать массой частицы. Ее обычно называют массой покоя частицы.)
[Здесь три пространственные компоненты 4-вектора записаны в виде обычного 3-вектора. Таким образом, V — это 4-вектор, у которого отсутствует составляющая, параллельная базисному вектору ?, а его х-составляющая имеет ВИД VX. То же относится к у- и !-составляющим. Кроме того, принято сокращение f2 = и ¦ и.]
Сохранение 4-импульса
Пример
При малых скоростях кинетическая энергия и 3-импульс связаны соотношением
F
cKINETIC — 2т '
(14.5)
8* 116
Гл. I. Специальная теория относительности
[Надеюсь, вы уже заметили, что основной способ получения информации о 4-векторах — это вычисление всех скалярных произведений, которые попали в ваше поле зрения.]
Фотоны
[Мы, конечно, здесь злоупотребили буквой "р", но что поделаешь — все эти выражения принято писать в такой форме.]
Пространство импульсов
Найдем соответствующее релятивистское выражение, которое следует из равенств
р р = т2к ¦ X = — т2. Развернем эту формулу:
PxPx + р"ри + PzPz - PtP1 = -w2. Будем называть полной энергией E величину
E = р1,
а 3-импульсом — величину
P = PxX + р"у + P2Z, P2 = PP-
(14.6)
(14.7)
(14.8)
(14.9) (14.10)
Тогда релятивистское обобщение нашего закона имеет вид
Е2 = р2 + т2. (14.11)
откуда в пределе малых скоростей получим
E^m + *-, 2т
(14.12)
Можно определить понятие 4-импульса даже для частиц, движущихся со скоростью света. Для этого снова будем считать, что 4-импульс параллелен соответствующей мировой линии, т. е.
Ptxa' (14.13)
откуда, принимая во внимание, что теперь а' — изотропный вектор, получим
E2 = P2. (14.14)
Вот почему говорят, что такие частицы не имеют массы покоя. Нормировка 4-вектора р должна быть выбрана так, чтобы его Г-компонента была полной энергией, а пространственная часть — полным импульсом, удовлетворяющими закону сохранения полного 4-импульса.
Представьте себе на миг множество всех возможных 4-импульсов. Пространство 4-имиульсов — это векторное пространство, сходное с пространством-временем, но такое, что координаты в нем не х и t, а. р* и Е. Геометрия соответствующей диаграммы, которую мы будем называть диаграммой импульсов, характеризуется не спецрелятивистской гиперболой 14. 4-импульс
t2 — X2 = 1, а полученным в предыдущем примере соотношением для энергии-импульса
Ег-р2 = т2. (14.15)
Наверное, не следует удивляться, что мы здесь вновь встречаемся с такой уже ставшей привычной нам кривой, как гипербола.
Пример
Предположим, что в результате столкновения двух частиц с равными массами образовалась одна новая частица. На рис. 14.1 представлена пространственно-временная диаграмма и диаграмма импульсов рассматриваемого процесса. Обратите внимание, что в момент столкновения все 4-импульсы параллельны мировым линиям интересующих нас частиц. Кроме того, на рисунке изображена гипербола
