Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
a = ахх + avy + a*z + аЧ, (і 2.6)
в другой системе отсчета, движущейся относительно первой системы вдоль оси х со скоростью V, будет описываться выражением
q = ~ va^*' + ~ u«x)?'] + а"У' + a'z',
(12.7)
где (х', у', z', t') — базисные векторы в движущейся системе отсчета.
Специфические свойства евклидовой геометрии хорошо от-Скаліфное произведение ражаются в операции скалярного произведения. Мы можем воспользоваться аналогичным приемом и в спецрелятивистской геометрии. Дадим следующее определение скалярного произведения 4-векторов, которое будем записывать как а • Ь:
[См. задачу 10.11.J
Скалярным произведением 4-векторов называется выражение a b = ахЬ* + aW + а'Ь1 - а*Ы, (12.8)
где a* ,b*, . . . , а*, Ь1 — компоненты векторов в ортонормированием базисе.
Нетрудно понять, почему скалярное произведение следовало Промежутки времени определить именно таким образом. Это определение позволяет очень просто написать формулу для промежутка времени в СТО. 12. 4-векторы 99
Промежуток времени в СТО: промежуток времени т, отмеренный по часам, которые переносятся вдоль отрезка мировой линии, задаваемого векторами а, определяется формулой
т2 = —а ¦ а.
(12.9)
Это скалярное произведение, подобно евклидову скалярному произведению, ковариантно. Его значение зависит только от самих векторов и может быть вычислено в любой канонической системе отсчета. Ясно, что такая ковариантность обусловливается ковариантностью промежутков времени. Можно непосредственным расчетом показать, что преобразования Лоренца не изменяют значение скалярного произведения. Если бы мы следовали традиционной схеме и постулировали преобразования Лоренца, то ход рассуждений нужно было бы изменить на противоположный. Мы должны были бы выбрать такое определение скалярного произведения, чтобы оно было инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца. Правомерен и тот и другой подход.
Скалярное произведение позволяет дать компактную формулировку различных законов специальной теории относительности. Например, мировая линия светового сигнала описывается касательным 4-вектором, удовлетворяющим условию
O-O- = 0. (12.10)
Согласно нашему определению, касательный вектор мировой линии может иметь любую длину. Можно так подобрать длину касательного вектора, чтобы он удовлетворял некоторым удобным условиям; такой особый касательный вектор мы будем называть 4-скоростью.
Преобразования Лоренца
Световые сигналы
4-скорость
4-скорость — это касательный 4-вектор X, нормированный [Везде, где возможно, мы будем так, что обозначать 4-скорость для миро-
X-X = -I, (12.11)
вой линии часов буквой X, а касательный 4-вектор мировой линии
X' > 0. (J2 J2) светового сигнала — буквой а.\
7* 100
Гл. I. Специальная теория относительности
Непосредственно из определения промежутка времени в СТО следует, что если величина X представляет собой 4-скорость, то отрезку мировой линии, который описывается вектором тХ, соответствует промежуток времени т.
Векторы, квадраты которых положительны, касаются мировых линий, описывающих движение со скоростями больше
рых равны нулю, называются изотропными. Это касательные векторы мировых линий световых сигналов. Несмотря на то что их квадраты равны нулю, сами векторы нулю не равны.
Примеры
Какая 4-скорость соответствует мировой линии, описывающей движение со скоростью vi Пусть уравнения мировой линии имеют вид
параллелен а и нормирован как надо; следовательно, X — это и есть искомая 4-скорость. Мировой линии покоящейся частицы соответствует 4-скорость t.
Скалярное произведение двух любых 4-скоростей — величина инвариантная. Кроме того, оно должно быть связано с относительной скоростью движения частиц, описываемых соответствующими мировыми линиями, или, в явном виде,
[Под квадратом вектора v здесь понимается скалярное произведение V-V.]
скорости света. Они называются пространственноподобными векторами. Векторы, квадраты которых отрицательны, называются времениподобными. Наконец, векторы, квадраты кото-
(12.16)
(12.13)
(12.14)
(12.15)
Относительная скорость
(12.17)
Откуда взялась эта формула? Скалярное произведение можно 12. 4-векторы
101
вычислять в любой системе отсчета, поэтому вычислим его в простой системе отсчета, где одна из интересующих нас 4-скоростей соответствует мировой линии неподвижной частицы. Обратите внимание, этот 4-вектор не равен нулю! Теперь формулы двух 4-скоростей можно заимствовать из только что рассмотренного примера. Чтобы найти скалярное произведение этих 4-скоростей, следует воспользоваться спецрелятивист-ским определением (12.8). Так как скалярное произведение ко-вариантно, расчет, выполненный в любой другой канонической системе отсчета, даст тот же самый результат.
С помощью этого результата можно дать очень короткий вывод закона сложения скоростей. Предположим, что наблюдатель следит за двумя частицами, движущимися со скоростями V1 и V2- Согласно (12.16), их 4-скорости в канонической системе отсчета, по отношению к которой наблюдатель неподвижен, имеют вид
