Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бёрке У. -> "Пространство-время, геометрия, космология. " -> 44

Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.

Бёрке У. Пространство-время, геометрия, космология. — М.: Мир, 1985. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): pronstranstvovremyageometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 139 >> Следующая


В настоящей главе мы будем изучать поведение тензорных полей в непосредственной близости от некоторой выбранной точки в столь малой окрестности, что всюду в ней поле можно считать постоянным. Соответствующая теория называется тензорной алгеброй. В гл. III мы перейдем к изучению переменных тензорных полей, что составляет предмет тензорного анализа. Применение аппарата тензорной алгебры позволит нам изложить специальную теорию относительности как геометрию некоторого простейшего тензорного поля. 15. Векторы и ковекторы

121

15. Векторы и ковекторы

Тензорная алгебра занимается изучением векторных пространств и связанных с ними линейных операторов. Тензорную алгебру можно построить на любом векторном пространстве. Для нас наибольший интерес представляет алгебра на пространстве векторов, касательных к мировым линиям в пространстве-времени.

Для любого векторного пространства V самыми простыми и наиболее важными являются операторы, действие которых на векторы из V дает действительные числа. В разд. 16 мы увидим, что если векторы V представляют собой векторы скорости, то соответствующие операторы будут определять градиенты функций. Пусть W — оператор (или отображение; мы используем термин «оператор», так как это отображение специального вида, с полным основанием его можно было бы назвать также функцией), такой, что

ш: V-* IR; а ша.

Оператор W называется линейным, если для любых векторов а и b и для любого числа к справедливо соотношение

и ¦ (ка + b) = к{ш -а) + ш- Ь.

(15.2)

Обратите внимание на то, что в левой части равенства мы складываем векторы, в то время как в правой части складываются числа. Такие линейные операторы будут называться ко-векторами; как мы увидим, они также образуют линейное пространство, которое обычно обозначается символом V*. Используемое нами условное обозначение для операции действия ковектора на вектор имеет иной смысл, чем соответствующее обозначение для скалярного произведения евклидовой геометрии и геометрии пространства Минковского. Однако это не должно привести к путанице, поскольку последние в оставшейся части книги будут использоваться крайне редко. Такое обозначение мы ввели, поскольку связь между векторами и ко-векторами симметрична. Это значит, что мы можем рассматривать вектор а как оператор, действующий в пространстве ко-векторов.

Введенные объекты, векторы и ковекторы, допускают знакомое физикам представление в виде векторов-столбцов и векторов-строк, используемых в матричной алгебре. Существует также графическое представление этих объектов, которое

Ковекторы

(15.1)

[Условные обозначения, используемые для отображений, были пояснены на стр. 36.]

Графическое представление 122

Гл. II. Геометрия

Случай двух измерений

Рис. 15.1

весьма удобно и полезно, так как позволяет рассматривать эти объекты вне связи с той или иной системой координат. Напомним, что представление структуры события мы построили непосредственно из элементов самого пространства V. Поступим аналогичным образом.

Рассмотрим множество всех векторов v, принадлежащих пространству V, таких, что

и = 1.

Ol

(15.3)

Обозначим это множество символом «о>»; оно и будет представлением ковектора ш. В последующих разделах мы будем опускать кавычки и обозначать множество тем же символом, что и сам ковектор.

В двумерном векторном пространстве множество «а»> представляет собой прямую линию. Чтобы убедиться в этом, возьмем два различных вектора а и Ь, таких, что

ш- а= 1,



(15.4)

(15.5)

Как а, так и b принадлежат множеству ««». Из свойства линейности (15.2) следует, что

ш- (а -Ь) =0;

поэтому для любого к

ш-(к(а-Ь) + а) = 1..

(15.6)

(15.7)

Таким образом, если векторы а и Ъ принадлежат множеству «ш», то ему принадлежит и вся определяемая ими прямая линия (рис. 15.1).

В двумерном случае «о>» не содержит других векторов. Действительно, предположим, что есть вектор, который удовлетворяет условию (15.3), но не принадлежит указанной прямой. В этом случае существовала бы вторая прямая, которая пересекала бы первую и также принадлежала множеству «о». Но тогда множество «ш» совпадало бы со всем двумерным пространством. С другой стороны, из (15.2) следует, что

ш-0 = 0;

(15.8)

полученное противоречие показывает, что исходное предположение неверно. В пространстве п измерений ковектор может быть представлен (п — 1)-мерным линейным подпространством. Например, в случае трех измерений «ш» будет плоскостью 15. Векторы и ковекторы

123

и т. д. Если не существует векторов, удовлетворяющих условию (15.3), то для любого вектора v должно выполняться равенство

WU = O. (15.9)

Такой оператор мы будем называть нулевым оператором.

Мы могли бы нарисовать полный набор линий уровня для нашего оператора. Линии уровня определяются из условия

ш-v= . . . -1, 0, 1, 2, . . . (15.10)

Нетрудно показать, что это набор прямых, которые параллельны «ш» и расположены на равных расстояниях друг от друга. Линия, соответствующая нулевому значению оператора, проходит через нулевой вектор.
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 139 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed