Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Движение быстрее света
[Эти мысли, касающиеся движения быстрее света, отличаются от представлений о тахионе, которые иногда обсуждаются. Кое-что о тахионах вы найдете в разд. 29.]
«Доказательства» специальной теории относительности
Парадокс близнецов 96
Гл. I. Специальная теория относительности
[Ответ на задачу 5.2 получил название парадокса близнецов, или парадокса часов, поскольку некоторые считают его совершенно немыслимым. Этот парадокс отлично проанализирован в книге Тейлора и Уилера [40], что нельзя сказать о многих других книгах, где он обсуждается. Однако поучительны обсуждения и того и другого типа.]
кажутся совершенно неожиданными. Нет никакого преимущества в аксиоматическом разрешении парадокса близнецов. Аксиоматический подход — это всего лишь более искусный, но туманный способ переформулировать эффект. В нашем подходе он заложен в основы специальной теории относительности.
ЗАДАЧА
11.1. (28) На подоконнике окна, раскрытого на ширину L, сидит мышь. Мимо на ракете проносится бессердечный мальчишка и бросает в мышь палку длиной L. Мышь в силу лорен-цева сокращения длины видит более короткую палку и приходит в отчаяние. Мальчишка же видит сократившийся промежуток между створками окна и приходит к выводу, что мышь осталась цела. Однако следует думать, что смерть мыши — понятие инвариантное. В чем ошибка в этих рассуждениях? (Scientific American, April 1975, p. 126).
Векторная алгебра
Модель векторного пространства для пространства-времени
Свободные векторы в пространстве-времени
12. 4-векторы
Чтобы получить не только качественные, но и количественные решения тех или иных задач, нужны более совершенные математические инструменты, в особенности когда число пространственных измерений больше одного. Собственно, нам нужен векторный анализ, пригодный для работы в пространстве-времени. Векторная алгебра уже была приспособлена к евклидовой геометрии; теперь нужно приспособить векторную алгебру и к специфическим свойствам спецрелятивистской геометрии. С помощью такой векторной алгебры в этом разделе дается простой вывод закона сложения скоростей, в разд. 13 обсуждается доплеровское смещение и аберрация света, а в разд. 14 — импульс и энергия.
Векторы здесь используются двумя различными способами. С одной стороны, когда в пространстве-времени нужно задать события, применяются радиус-векторы, выходящие из некоторой произвольно выбранной начальной точки. С другой стороны, для описания смещений от одних событий к другим используются свободные векторы. Линейная структура векторного пространства позволяет переносить вектор к любому событию с помощью правила параллелограмма. Свободные векторы в пространстве-времени мы будем называть 4-векторами.
Для количественного описания векторов выделим систему базисных векторов и будем записывать любой вектор в виде их 12. 4-векторы
97
линейной комбинации. В СТО наиболее удобна система базисных векторов, связанная с канонической системой отсчета. В каждой канонической системе отсчета есть своя система базисных векторов. Примем для этого особого класса базисных векторов обозначения х, у, z и ?. 4-вектор х описывает смещение от начала системы отсчета к событию (t, х,у, z) = (0, 1, 0, 0). Кроме того, он описывает смещение от любого события (/, х, у, z) к событию (/, X + 1, у, z). Все это по аналогии распространяется и на остальные три 4-вектора. Базис, связанный с канонической системой отсчета именно таким способом, мы будем называть ортонормированным базисом.
Любой 4-вектор можно разложить по этому базису. Коэффициенты разложения входят в соответствующую формулу следующим образом:
: ахх + ауу + a'z + аЧ.
Чтобы умножить вектор на масштабный множитель к, следует умножить на к все его компоненты. Чтобы сложить два 4-вектора, нужно сложить соответствующие компоненты.
Пример
Вектор Ь, описывающий смещение от начала системы отсчета к событию (1, 1, 0, 0), записывается в виде
и имеет компоненты
b = x + t
Ь* =1, Ьг = 0, у = 0, Ы = 1.
Мы можем указать направление мировой линии, задав касательный к ней 4-вектор. Касательным вектором к прямой мировой линии является любой вектор, соединяющий различные события, лежащие на этой прямой.
[Чтобы отличать эти 4-векторы от 3-векторов, мы не будем выделять их жирным шрифтом, а просто договоримся, что в этом разделе буквы а, Ь, а, всевозможные X и символы X, У, Z, t используются только для обозначения 4-векторов.]
Базисные векторы
(12.1) Компоненты
[Здесь Ox обозначает х-компоненту вектора а, а не дг-ю степень некоторого числа а. В формуле (12.1) a, X1 у, и t представляют собой 4-векторы.]
(12.2)
(12.3)
Касательные векторы
Пример
Мировой линии, описываемой уравнением
JC = J = Z = O, (12.4)
касается 4-вектор Г, а 4-вектор Ъ из предыдущего примера каса-
7-649 98
Гл. I. Специальная теория относительности
ется мировой линии светового сигнала X= t, у = Z = 0.
(12.5)
Ковариантность по отношению к преобразованиям Лоренца
В различных канонических системах отсчета события описываются по-разному. Это означает, что один и тот же 4-вектор тоже должен иметь разные представления в разных канонических системах отсчета. B различных канонических системах отсчета используются различные ортонормированные базисы. Поскольку мы определили 4-векторы через события, закон их преобразования должен быть таким же, как закон преобразования событий, т. е. представлять собой преобразования Лоренца. Вектор, описываемый в одной канонической системе отсчета выражением
