Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
V = VT^ti (10-25)
в согласии с результатами предыдущих вычислений.
Обратите внимание на простоту формулы для хроноструктуры в светоподобных координатах:
t1t2 = I, (10.26)
С помощью преобразований Лоренца (10.13) и (10.14) можно показать, что уравнение кривой, являющейся геометрическим местом тех же самых событий в новой системе отсчета, име- 10. Лоренц-инвариантность
89
ет вид
t1V = I,
(10.27)
а это все та же гипербола. Таким образом, описание часов в движущейся канонической системе отсчета подчиняется тому же самому правилу. Иными словами, канонические системы отсчета равноправны. В этом и заключается лоренц-инвариантность, которую мы обещали продемонстрировать. В качестве упражнения постарайтесь доказать, что уравнение светового конуса имеет вид
и что оно тоже инвариантно. Собственно, последнее вам уже должно быть известно, поскольку условие постоянства скорости света с самого начала введено в определение канонической системы отсчета.
Выше мы обещали доказать, что невозможно дать определение одновременности, пользуясь только часами и световыми сигналами. Все дело в том, что и часы и световые сигналы лоренц-инвариантны. То, что можно сделать в одной канонической системе отсчета, можно проделать и в любой другой, но беда в том, что прямая, на которой лежат одновременные события, не является лоренц-инвариантной. Нельзя дать непротиворечивое ковариантное определение одновременности только с помощью часов и световых сигналов. Чтобы выйти из тупика, необходимо каким-то способом выделить некоторую конкретную каноническую систему отсчета. Мы это сделали, потребовав, чтобы определение одновременности помимо всего прочего зависело еще и от выбора некоторой выделенной мировой линии.
После того как мы установили путем экспериментальных Важное обобщение наблюдений лоренц-инвариантность часов, у нас возникает естественное желание обобщить этот результат. Наиболее широким, но тем не менее правдоподобным обобщением следует считать утверждение, что все физические процессы лоренц-инвариантны. Ни одна физическая система не позволяет измерить абсолютную скорость. На самом деле имеет смысл говорить лишь о скорости наблюдателя по отношению к некоторой системе отсчета. Вселенная заполнена микроволновым излучением, и мы можем измерить такую важную величину, как наша скорость по отношению к этому электромагнитному фону.
В педагогических целях мы часто будем рассматривать теории, в которых лоренц-инвариантность нарушается. Хочу на-
t1t2 = 0
(10.28) 90 Гл. I. Специальная теория относительности
помнить читателю, что нет никакой необходимости в подобных модификациях СТО. Специальная теория относительности позволяет дать адекватное объяснение всем экспериментальным наблюдениям. И все же для более полного понимания истинного смысла СТО полезно рассмотреть такие альтернативные теории. Они играют роль пробного камня, на котором можно отточить логику наших рассуждений, касающихся СТО.
[Вы должны уметь самостоятельно выдумывать для себя шаблонные задачи, подобные этим двум.]
ЗАДАЧИ
10.1. (12) Рассмотрите простое преобразование Лоренца, в результате которого T1 удваивается, а т2 уменьшается в два раза. Какой быстроте это соответствует?
10.2. (13) Проделайте опущенные в тексте вычисления интервала T2.
10.3. (13) Восстановите недостающие звенья в цепочке выкладок, ведущих от формул (10.13), (10.14) к формулам (10.19), (10.20).
10.4. (23) Постройте три пространственно-временные диаграммы, описывающие наблюдателя, который измеряет замедление хода времени движущихся часов: а) для системы отсчета, неподвижной по отношению к наблюдателю; б) для системы, неподвижной по отношению к часам; в) для системы отсчета, по отношению к которой наблюдатель и часы движутся с одинаковыми, но направленными в противоположные стороны скоростями. Покажите на каждой диаграмме, почему скорость хода движущихся часов кажется меньше.
10.5. (20) Найдите преобразование Лоренца, превращающее изображенный на рис. 10.5 параллелограмм в евклидов квадрат на пространственно-временной диаграмме. Это всего лишь упражнение, ибо такой квадрат не имеет физического смысла. Какая быстрота ф соответствует такому преобразованию?
10.6. (26) Прочтите раздел, посвященный релятивистскому сокращению длин, в любом учебнике специальной теории относительности. Объясните его на нашем языке. Воспользуйтесь тремя диаграммами пространства-времени, описанными в задаче 10.4.
10.7. (20) Перепишите уравнение
X4 = I
Рис. 10.5
в светоподобных координатах. 10. Лоренц-инвариантность
91
10.8. (15) Докажите, что гипотетические часы, которые описываются хроноструктурой вида
t4-x*=l
не обладают никакой симметрией, подобной лоренцевой. Покажите, что не существует преобразования от одной системы отсчета к другой, движущейся с иной скоростью, которое оставляло бы неизменной хроноструктуру
10.9. (36) Рассмотрите канонические координаты и преобразования Лоренца для гипотетических часов из задачи 10.8. Преобразования Лоренца полезны даже в том случае, когда поведение часов не является лоренц-инвариантным!
