Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Только что проделанные геометрические построения можно описать алгебраически. Если две частицы движутся по отношению к наблюдателю со скоростями V1 я V2, то их относительная скорость равна
V=Jb=Jb-.
1 — V1V2
(9.5)
Последнее выражение легко получается с помощью 4-векторов и четырехмерного аналога скалярного произведения, что будет показано в разд. 13 после того, как мы познакомимся с этими математическими объектами.
Как уже отмечалось, величина скорости неразрывно связана с наклоном мировой линии на пространственно-временной диаграмме. Поскольку в евклидовой геометрии наклон прямой характеризуется тангенсом угла, который эта прямая составляет с осью, вас не должно удивлять, что закон сложения (в данном случае его скорее следовало бы именовать законом вычитания) скоростей имеет некоторое сходство с формулой zw я тангенса разности двух углов:
tg (A-B) =
tg А - tg В 1 + tg A tg В
(9.6)
Это, конечно, не полный аналог выражения (9.5), ибо геометрия пространства-времени отличается от евклидовой. 9. Относительная скорость
81
Внешнее сходство формул (9.5) и (9.6) явилось причиной упорных поисков величины, подобной углу в евклидовой геометрии. Дело в том, что в обычной геометрии никто не будет заниматься такой неблагодарной работой, как нахождение тангенсов углов наклона с помощью формул типа (9.6), когда можно воспользоваться элементарным правилом сложения углов, которое сводится к простому суммированию. Естественно возникает вопрос: нельзя ли найти такую функцию скорости, обозначим ее ф, чтобы закон сложения скоростей свелся к простому суммированию этих функций? Это можно сделать; функция ф, обладающая нужным нам свойством, называется быстротой'). По аналогии с формулой евклидовой геометрии
Быстрота
можно написать
ц = tg і
V = th Ф,
(9.7)
(9.8)
что и дает искомую связь. С помощью теории гиперболических функций (обратите внимание на название) можно показать, что такое определение приводит к закону
Быстрота
\ 1,0 % 4'v i,o
N. ^ч. 0,5 05 /
V111I ''^t" 0,5,/
Спорость
Рис. 9.5
Спецрелятивистский транспортир.
ф = ф2-ф1.
(9.9)
Для построений в евклидовой геометрии очень удобен транспортир — полукруг с нанесенными на нем градусными делениями. Удобно иметь аналогичный инструмент и для построения наглядных изображений в геометрии пространства-времени. Для этого возьмем единичную гиперболу t2 — X2 = 1 и нанесем на нее различные наклоны в единицах быстроты. Такой транспортир, схематически изображенный на рис. 9.5, может найти много применений. Поработайте немного с транспортиром. Это поможет вам глубже понять взаимосвязи в геометрии пространства-времени. Заметьте, что к транспортиру на рис. 9.5 можно добавить шкалу скоростей, нанесенную на прямую
/= 1. (9.10)
Единица измерения ф сходна с радианом, поэтому для малой быстроты
ф ~ V. (9.11)
'' Употребляется также термин «параметр скорости». — Прим. пе-рев.
Спецрелятивистский транспортир
[Мы снова встретимся с быстротой в разд. 44, когда займемся изучением псевдосферы. Пространство всевозможных скоростей во всех направлениях — это и есть псевдосфера, а быстрота — удобная координата на ней.1
6-649 82 Гл. I. Специальная теория относительности
ЗАДАЧИ
9.1. (10) Пусть в некоторой общей инерциальной системе отсчета задана гипербола и точка на ней, соответствующая какому-то произвольному значению быстроты. Используя евклидову геометрию, найдите способ построения на этой гиперболе точки, соответствующей удвоенному значению быстроты. Объясните выполненные операции.
Рис. 9.6
9.2. (14) Убедитесь, что определение относительной скорости симметрично.
9.3. (18) Инвариантна ли относительная скорость по отношению к проективным преобразованиям?
9.4. (19) Чему равна относительная скорость частиц с мировыми линиями А и В на пространственно-временной диаграмме, показанной на рис. 9.6? Решите задачу графически и аналитически.
л W
-Зоу /
/
/
Рис. 9.7 10. Лоренц-инвариантность
83
9.5. (11) Начертите на пространственно-временной диаграмме, показанной на рис. 9.7, мировые линии частиц, движущихся относительно частицы с мировой линией W со скоростью ± Vi.
9.6. (27) Сформулируйте правила работы со спецрелятивист-ским транспортиром.
10. Лоренц-инвариантность
Мы осознаем изменение, только когда обнаруживаем нечто инвариантное, а неизменное — только когда имеем дело с чем-то преобразующимся.
Дж. Вейнберг
Теперь мы готовы исследовать исключительно важное свойство наших спецрелятивистских часов. Поскольку мы считаем хроноструктурную гиперболу ? результатом экспериментальных наблюдений, можно утверждать лишь, что она характеризует часы в отдельной канонической системе отсчета, в которой описывались эксперименты с часами. Сейчас мы постараемся доказать, что если хроноструктура ? является гиперболой в одной системе отсчета, то она будет такой же гиперболой и в любой другой канонической системе отсчета.
Последовательность доводов, которой мы здесь воспользуемся, может служить примером общего метода доказательства существования симметрии тех или иных объектов. Собственно, речь идет о преобразованиях, оставляющих эти объекты неизменными. Сфера обладает симметрией, она не изменяется при поворотах. Сфера с нанесенной на нее точкой обладает уже меньшей симметрией, ибо уменьшается число преобразований, не вызывающих никаких изменений. Такого рода доводы использовались нами при обсуждении вращательной симметрии евклидовой геометрии; мы вновь прибегнем к ним здесь при поиске лоренцевой симметрии спецрелятивистских часов. Кроме того, мы обратимся к ним в дальнейшем при обсуждении симметрии волн на воде и псевдосфер.
