Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Начнем с представления о канонической системе отсчета, которое опирается на свойства световых сигналов, равномерность хода часов и выбор выделенной мировой линии. Это представление не зависит от конкретных особенностей поведе-
[Мы не будем делать различия между и «.#», т.е. между хро-ноструктурой и геометрическим местом точек на диаграмме пространства-времени, описывающим хроноструктуру.]
Доказательство существования симметрии
Операциональное определение канонической системы отсчета
6* 84
Гл. I. Специальная теория относительности
W
\
/
/
/
[Следует помнить, что ковари-антиые операции — это физические операции, которые имеют смысл вне зависимости от выбора какого-нибудь частного представления. Примерами могут служить испускание светового сигнала или измерение промежутка времени.]
ния часов. Здесь тем же способом, что и в предыдущих разделах, можно найти ковариантное операциональное определение канонической системы отсчета. Это определение позволяет преобразовать одну каноническую систему отсчета в другую. Если в исходной канонической системе отсчета хроноструктура имеет вид гиперболы
Xt=I,
(10.1)
Рис. 10.1
Промежутки времени T1 И T2 являются светоподобными координатами события E по отношению к мировой линии W.
то, как будет доказано, ^ останется той же самой гиперболой и в любой другой канонической системе отсчета. Это характерное свойство именно гиперболической хроноструктуры. В задачах в конце раздела вы столкнетесь с примерами отсутствия такой симметрии. Подобного рода симметрия хроноструктуры .У называется лоренц-инвариантностью, а соответствующие преобразования — преобразованиями Лоренца.
Инерциальные системы отсчета и их особая разновидность — канонические системы отсчета — играют в СТО центральную роль. До сих пор у нас было лишь, так сказать, внутреннее определение инерциальных систем отсчета. Они определялись через свои свойства, а это более абстрактный и, возможно, менее доступный подход, нежели определение, основанное на четкой последовательности операций. Теперь, в духе предыдущих разделов, мы в состоянии дать ковариантное операциональное определение канонической системы отсчета, ассоциированной с мировой линией W. Для простоты будем по-прежнему работать в 1 + 1-мерном пространстве-времени. Способ рассуждения здесь полностью соответствует хорошо знакомой схеме: мы знаем, что следует делать в некоторой конкретной канонической системе отсчета; тогда, описав эту процедуру с помощью ковариантных операций, мы получаем определение, пригодное в любой инерциальной системе отсчета.
Мы ищем ковариантные операции, позволяющие определить координаты любого события Е, происшедшего в произвольной мировой точке пространства-времени. В нашем распоряжении есть лишь световые сигналы, выделенная мировая линия W, связанная с интересующей нас конкретной канонической системой отсчета, и умение измерять интервалы времени. Все это показано на рис. 10.1. На нем изображены только световые сигналы, связанные с событием Е, и только те интербалы времени T1 и т2, которые выделяются этими сигналами. Интервалы T1 и т2 связаны с координатами события в канонической 10. Лоренц-инвариантность
85
системе отсчета следующими соотношениями:
T1 = I-X, (10.2)
T2 = t + x. (Ю.З)
Отсюда нетрудно получить выражения координат через эти интервалы:
ДС = Нт,-т,), (10.4)
' = Ht2+ т,),
(10.5)
а это и есть искомое ковариантное операциональное определение координат xat канонической системы отсчета, связанной с мировой линией W.
Фактически, числа T1 и т2 сами являются прекрасными координатами. Будем называть их светоподобным.и координатами. Они образуют систему координат, которая получается в результате поворота на 45° обычных осей координат (х, t).
Здесь возникает естественный вопрос: как связаны между собой координаты в двух различных канонических системах отсчета? Теперь, когда у нас есть четкое определение координат, ответить на этот вопрос не составляет особого труда.
Найдем преобразование от заданной канонической системы отсчета, в которой хроноструктура имеет вид
t2-X2=I, (10.6)
к другой канонической системе отсчета, связанной с мировой линией наблюдателя, движущегося со скоростью v относительно наблюдателя с выделенной мировой линией в исходной системе отсчета. Ситуация изображена на рис. 10.2. Пусть T1 и T2 — светоподобные координаты в системе отсчета, связанной с W, а т[ и т2 — соответствующие координаты в системе, связанной с W'. Будем считать, что значения T1 и т2 известны, и
найдем выражения координат т.
через
V — скорость движения наблюдателя W' по отношению к IV. Теперь нам нужно найти координаты события А, задающего значения координат в системе отсчета, ассоциированной с мировой линией W'. Можно найти как (T1, т2)-координаты этого события, так и его (jc, /)-координаты. Светоподобные координаты проще, но менее нам знакомы. Поэтому сначала проделаем расчет в координатах (л*, t), а затем повторим его для координат (г,, T2).
