Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
8.8. (23) Докажите, что высказывание «событие А произошло одновременно с событием В», которое мы условимся писать как А = Ji, является отношением эквивалентности; иными словами, докажите, что удовлетворяются следующие три условия:
(1)/4 = ^A (рефлексивность);
(2) из А = SB следует В = ^A (симметрия);
(3) из А = ? ц В = SC следует А = SC (транзитивность).
В условии (3) следует считать, что события А, В и С не лежат на одной прямой. Для упрощения доказательства воспользуйтесь симметрией относительно отражения времени t — — t.
8.9. (30) Можно исключить зависимость показаний спецреляти-вистских часов от пути в пространстве-времени, если договориться переносить часы только с постоянной скоростью, т. е. уподобить их в указанном смысле свободным частицам. Докажите с помощью рис. 8.11, что даже в таком случае хроно-
77
/ Рис. 8.10
Здесь представлено пространственное изображение, а не пространственно-временная диаграмма. 78
Гл. I. Специальная теория относительности
Рис. 8.12
транспортная одновременность остается неудовлетворительной.
8.10. (28) Расчитайте замедление хода гипотетических часов с хроноструктурой вида
J4-X4= 1.
8.11. (21) На рис. 8.12 показано построение одновременных событий в 2 + 1-мерном пространстве-времени. Найдите уравнение линии пересечения изображенных там двух световых конусов и докажите, что это плоская кривая.
8.12. (35) С помощью предыдущего построения докажите, что с точки зрения неподвижного наблюдателя движущийся диск сокращается в направлении движения.
Знакомое определение
[Не забывайте, что длины измеряются в световых секундах, а скорости — в долях скорости света.]
9. Относительная скорость
Перейдем теперь к обсуждению относительной скорости, которое будет проводиться в духе предыдущего раздела. Пусть известно, что следует понимать под скоростью частицы (описываемой некоторой мировой линией) по отношению к наблюдателю, покоящемуся в канонической системе отсчета. Тогда можно дать ковариантное операциональное определение этого понятия, пригодное в любой инерциальной системе отсчета. Заметьте, что можно определить относительную скорость движения двух частиц до обсуждения преобразований Лоренца. В большинстве книг по СТО относительная скорость рассматривается в связи с обсуждением результатов преобразований Лоренца. Это явное недоразумение, ибо определение относительной скорости не зависит от особенностей хроноструктуры .4'.
В любой канонической системе отсчета применимо хорошо знакомое нам определение скорости как расстояния, пройденного за единицу времени. Чтобы найти скорость, достаточно сравнить наклон мировой линии частицы с наклоном мировой линии светового сигнала. На рис. 9.1 изображена мировая линия W частицы, движущейся относительно данной системы отсчета со скоростью
V = alb. (9.1)
Как превратить это определение в ковариантное операциональное определение? Сначала откажемся от представления о канонической системе отсчета, кроме ассоциированной с ней выделенной мировой линии, и будем теперь вести речь об относительной скорости частиц, которые описываются двумя миро- 9. Относительная скорость
79
выми линиями. Нам нужно перейти от измерений наклонов к измерениям интервалов времени. Поскольку мировые линии световых сигналов в канонической системе отсчета составляет угол 45°, длины отрезков а и b можно перенести на выделен-
Рис. 9.1
Измерение скорости в канонической системе отсчета. Если мировая линия W составляет угол 30° с вертикалью, то соответствующая скорость равна 1/V3.
н'ую мировую линию покоящегося наблюдателя, как показано на рис. 9.2. Затем можно измерить интервалы времени T1 и т2, отмеченные на рис. 9.3; они связаны с а и b соотношениями
T1 = Ь-а, (9.2)
T2 = Ь +а, (9.3)
из которых следует, что
® = | = ?х?- <**>
b T2 + Ti
Таким образом, нам удалось выразить относительную скорость через интервалы времени, определяемые световыми сигналами. Но это уже ковариантное определение, которым можно пользоваться в любой системе отсчета. С другой стороны, нетрудно заметить, что здесь требуется сравнение интервалов времени, измеренных только вдоль единственной мировой линии. Следовательно, относительная скорость зависит лишь от пространственно-временной структуры инерциальной системы
Рис. 9.2.
С помощью световых сигналов длины отрезков а и Ь, изображенных на рис. 9.1, можно измерять как промежутки времени. 80
Гл. I. Специальная теория относительности
Сложение скоростей
Рис. 9.3
Рис. 9.4
отсчета, но не от хроноструктуры Эту скорость вполне можно было бы назвать свето-сигнальной относительной скоростью.
Весьма примечателен закон сложения относительных скоростей. На рис. 9.4 схематически изображена ситуация, в которой частица с мировой линией А движется со скоростью Vi относительно покоящейся в данной системе отсчета частицы с мировой линией W. Пусть частица с мировой линией В движется со скоростью Vi относительно частицы с мировой линией А. Тогда оказывается, что скорость частицы В относительно частицы W будет равна не Vi + Vi — 1, а, как явствует из диаграммы, примерно 4A. Такой своеобразный закон сложения относительных скоростей является следствием свето-сигнального определения относительной скорости, а не каким-то специфическим свойством СТО. Само собой разумеется, что если бы физические часы представляли собой часы, измеряющие абсолютное время, то нам пришлось бы принять иное определение относительной скорости.
