Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Существует простая связь между взаимным расположением мировой линии W и прямой L, являющейся геометрическим местом событий, которые по отношению к W удовлетворяют определению световой одновременности: в любой канонической системе отсчета мировая линия W и прямая L составляют одинаковые евклидовы углы с мировой линией светового сигнала, как показано на рис. 8.6. Вернемся немного назад и оценим то, что мы только что делали. Модель геометрии пространства-времени строится на основе евклидовой геометрии. Некоторые концепции евклидовой геометрии имеют смысл и в пространстве-времени, но не все. В частности, в СТО имеет смысл говорить только о равенстве углов, составляемых прямыми с мировыми линиями световых сигналов и лишь по отношению к канонической системе отсчета. Корректность выполненного на рис. 8.6 построения будет доказана в разделе, посвященном преобразованиям Лоренца. Описанный там подход позволит выполнить это доказательство в очень компактной форме.
Сформулировав определение одновременности, мы можем пойти дальше и применить его при обсуждении процедуры синхронизации часов. Поскольку наше определение зависит от наклона некоторой конкретной мировой линии, синхронизация часов А с часами В даст результат, отличный от исхода синхронизации В с А, если только эта пара часов не описывается параллельными мировыми линиями. Таким образом, корректная процедура синхронизации имеет место только для семейства часов, движущихся вдоль параллельных мировых линий. Рассматриваемая процедура, опирающаяся на определение световой одновременности, представлена на рис. 8.7. В момент времени tx по часам А от них посылается световой сигнал к часам В. Затем этот сигнал сразу же отправляется обратно к часам А, которые в момент его получения показывают время t2. Синхронизировать часы В с часами А — значит настроить часы В 8. Одновременность
73
так, чтобы в момент отражения сигнала они показывали время
t0 = i(h + h). (8.1)
К этой процедуре приводят те же рассуждения, какие использовались нами ранее. В канонической системе отсчета, по отношению к которой все рассматриваемые часы покоятся, координатное время должно согласовываться с временем, отмеряемым часами. Проделанные выше операции гарантируют выполнение этого требования, к тому же'они могут быть описаны в любой системе отсчета. Таким образом, если дана диаграмма пространства-времени с несколькими мировыми линиями движущихся часов и поставлена задача синхронизировать часы, то вовсе нет необходимости в переходе к системе покоя часов, их синхронизации в этой системе отсчета и в последующем преобразовании к исходной системе отсчета. Вместо всего этого достаточно выполнить указанные выше ковариантные операции. Теперь вы, наверное, можете по достоинству оценить всю полезность ковариантного формализма, позволяющего избежать многократных преобразований систем отсчета.
Процедура синхронизации играет решающую роль в обсуждении скорости хода движущихся часов. Большинство недоразумений по поводу обсуждаемого вопроса (собственно вопрос, который мы собираемся обсуждать, и важен лишь из-за связанной с ним довольно большой путаницы) вызывается предположением о возможности сравнения скоростей хода движущегося и неподвижного хронометров. Однако это предположение неверно. Дело в том, что можно сравнивать показания только тех часов, которые находятся (почти) в одной и той же мировой точке, соответствующей некоторому событию. Но для измерения скорости хода нужно сделать два отсчета. В такой ситуации мы можем только сравнить скорость хода движущихся часов со скоростью хода семейства синхронизированных неподвижных часов, а для этого нужно иметь как минимум два неподвижных хронометра. Только если указанное условие не выполнено, ситуация, связанная со сравнением скорости хода часов, будет казаться симметричной и как следствие этого парадоксальной. Взгляните на рис. 8.8. На нем C1 и C2 — мировые линии неподвижных, а С — движущихся часов. Вычисления проще всего проделать в канонической системе отсчета, где часы C1 и C2 покоятся. Поскольку все наши операции ковариантны, в принципе годится любая инерциальная система отсчета (см. задачу 8.3).
[Будьте осторожны, если вы не знакомы с таким способом рассуждений. Мы неожиданно вводим определение и лишь затем доказываем, что оно корректно. Каноническая система отсчета используется здесь только для обоснования определения.]
Скорость хода движущихся часов
Рис. 8.7 74
Гл. I. Специальная теория относительности
[Не забывайте, что мы измеряем расстояние в световых секундах, так что скорости измеряются в долях скорости света, т.е. безразмерны.]
[Вычисление промежутков времени между двумя известными событиями основано на применении формулы (5.2).]
Рис. 8.8
Измерение скорости хода движущихся часов.
Синхронизируем неподвижные часы с помощью описанной выше процедуры. Для простоты совместим начало координат с событием Е, которое соответствует встрече часов С с часами C1. Поставим стрелки часов С и C1 так, чтобы в момент события E они показывали нуль. Тогда часы C2 будут показывать нуль в момент события G одновременно с Е. Мы сможем сравнить скорости хода часов, если нам удастся определить показания часов С и C2B момент события F. Сначала найдем координаты события F. Уравнение мировой линии движущихся часов имеет вид
