Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
X = Vt, (8.2)
а мировой линии часов C2 —
x = L,
(8.3)
где L — некоторая постоянная, являющаяся мерой расстояния между двумя неподвижными часами. Событие Улежит на обеих мировых линиях, поэтому его координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Следовательно, они имеют значения (L, L/v).
Теперь можно вычислить интервалы времени между событиями EkFk между событиями GhF. Время т2, которое показывают часы C2, в силу их неподвижности в точности равно координатному интервалу времени между интересующими нас событиями:
L
Движущиеся часы покажут время
т ^ Ж -и- = -VPr^.
V V V
Тогда отношение скоростей хода часов равно частному
JL = VT^
T2
(8.4)
(8.5)
(8.6)
и не зависит от L. Итак, движущиеся часы отстают по сравнению с неподвижными. Надеюсь, вы понимаете, что, несмотря на простоту, с которой мы пришли к этому выводу, результат нельзя считать тривиальным.
С помощью нашего определения одновременности можно дать операциональное определение расстояния между точками, в которых произошли два события. Посмотрите на рис. 8.9. Договоримся, что расстояние между двумя точками, в которых 8. Одновременность
75
Рис. 8.9
Измерение расстояния между точками, в которых произошли два события ?Hf. В данном случае это расстояние равно т световым секундам.
произошли события, определяется величиной, измеренной в канонической системе отсчета, где эти события одновременны. Здесь снова можно перейти к ковариантной форме операционального определения, напоминающего часто используемый на практике радарный способ измерения расстояний. Выберем
любую мировую линию, по отношению к которой события E и Пространственное расстояние F можно считать одновременными. Для этого воспользуемся описанным ранее методом равных углов, образуемых этой мировой линией с мировой линией светового сигнала. Определим расстояние между точками, в которых произошли события E и F, как половину интервала времени, прошедшего между отправлением и возвращением светового сигнала, совершившего «путешествие» туда и обратно. Тогда координаты событий, происшедших в точках, отстоящих от начала на единичном пространственном расстоянии, должны удовлетворять уравнению
X2 — t2 = 1. (8.7) 76
Гл. I. Специальная теория относительности
Длина — не фундаментальная величина
[Отличие этой точки зрения от общепринятой полезно сравнить с отличием систем отсчета, специализированных по времени, от систем отсчета, специализированных по световому сигналу; см. стр. 63.]
Возможно, вы удивлены, что мы не включили в число наших первичных понятий пространственное расстояние, с которым связано физическое представление о твердом стержне. Разумеется, это можно было бы сделать. Однако часы являются более простым понятием. На пространственно-временной диаграмме часы описываются единственной мировой линией с нанесенными на ней отсчетами, тогда как твердый стержень описывается целой двумерной поверхностью. Кроме того, нет оснований считать, что невозможно создавать все более и более точные часы, тогда как сама природа материалов не позволяет делать все более и более твердые стержни.
Если принять такое хронометрическое определение длины, то возникает необходимость в ином логическом истолковании экспериментов по измерению, скажем, скорости света, например эксперимента Майкельсона — Морли, в котором сравнивались процессы распространения света в двух взаимно перпендикулярных направлениях. С точки зрения хронометрического толкования в этих экспериментах выявляется лишь свойство упругих тел сохранять при определенных условиях неизменные геометрические размеры, измеренные с помощью световых сигналов. Так как при построении системы отсчета мы пользуемся только часами и свободными частицами, твердые стержни не будут играть в этой книге никакой роли в любой проблеме.
ЗАДАЧИ
8.1. (08) Докажите, что на рис. 8.4 все события, лежащие на прямой AB, одновременны.
8.2. (10) Один из двух близнецов — служащий, а другой — водитель автобуса. При прочих равных условиях кто из них будет старше и на сколько, когда они выйдут на пенсию? Дайте количественную оценку.
8.3. (10) Преобразуйте чертеж на рис. 8.8 так, чтобы на нем была изображена каноническая система отсчета, в которой часы С покоятся.
8.4. (12) Докажите, что геометрическое построение на рис. 8.6 действительно согласуется с нашим предыдущим определением световой одновременности.
8.5. (13) Найдите, контрпример, показывающий, что в инерциальной системе отсчета общего типа метод равных углов не пригоден для построения линии одновременных событий.
8.6. (12) Убедитесь, что приведенное на рис. 8.7 построение га- 8. Одновременность
рантирует идентичность показаний обоих часов для одновременных событий.
8.7. (24) Две одинаковые неподвижные ракеты расположены друг от друга на расстоянии L и ориентированы вдоль соединяющей их прямой, как показано на рис. 8.10. В результате одновременного включения двигателей, обладающих одинаковой тягой, ракеты начинают ускоряться вдоль этой прямой. Нарисуйте соответствующую пространственно-временную диаграмму. На каком расстоянии друг от друга ракеты окажутся позднее при переходе в режим движения по инерции? Натянется ли соединяющий их трос длиной Ll
