Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Событие А лежит на мировой линии W', откуда следует, что его координаты, которые мы обозначим х и t, должны
W
> 4W'
\ /
\ /
ч
/ X / >Е
/
к У
/JT
/ т' Il
/ X
Рис. 10.2
Светоподобная координата т' t события E по отношению к мировой линии W'.
Светоподобные координаты
[Вернитесь немного назад и вспомните все, что мы делали выше. Тогда вопросы, подобные этому, придут вам на ум сами собой.]
[Определение и обсуждение относительной скорости вы найдете в разд. 9.] 86
Гл. I. Специальная теория относительности
удовлетворять уравнению
X = vt. (10.7)
Но оно лежит и на мировой линии светового сигнала, так что t = Jc + г,. (10.8)
Таким образом, событие А имеет координаты
X = Y=Tr (10-9)
I = Tei-. (10.10)
1 — V
[Вычисление промежутков време- Величина t1 — это просто интервал времени, прошедшего от ни между двумя известными со- начала отсчета до события А. Тогда бытиями основано на применении формулы (5.2).] _ р _ ^2f (10 J1J
(1-и)
т. е.
(т/)2 = ^t')2 (1 — „2V
11 + p -Vf^ti-
(10.12)
ti =VT^t'- (10.13)
Аналогичные выкладки дают
= ^, (10-14)
V
С помощью наших определений
Ti = I-X, (10.15)
t2 = t + x, (10.16)
T1' = t'-x', (10.17)
t2' = ?' (ю-!«)
в результате довольно утомительных алгебраических преобразований выражения (10.13) и (10.14) можно записать в виде уравнений для координат х, t их', Ґ . Решив эти уравнения относительно /' и х', получим
Преобразования Лоренца t< _ ^ 1 _ ^jq ^ 10. Лоренц-инвариантность
87
X =
VT=
(х-Vt).
(10.20)
Эти преобразования от координатной канонической системы отсчета к другой называются преобразованиями Лоренца.
Цель этой книги — дать ковариантную трактовку максимально возможного числа интересующих нас объектов. Поскольку ковариантность позволяет работать в любой системе отсчета, мы не станем приспосабливать преобразования Лоренца к специальному классу систем отсчета, как это обычно делается. В принципе можно было бы вообще обойтись без преобразований Лоренца.
В качестве примера полезности преобразований Лоренца приведем упоминавшееся ранее доказательство корректности правила равенства углов при построении линии событий L, одновременных по отношению к наперед заданной мировой линии W. Начнем с канонической системы отсчета, связанной с этой мировой линией. В ней L и W взаимно перпендикулярны и на самом деле составляют одинаковые углы с мировыми линиями световых сигналов. Теперь обратимся к преобразованиям Лоренца для светоподобных координат, т. е. к формулам (10.13) и (10.14). Согласно этим формулам, одна светоподобная координата сжимается, а вторая в том же отношении растягивается. Очевидно, однако, что растяжение одной светоподоб-ной координаты не изменяет углов, поскольку они, как показано на рис. 10.3, расположены по отношению к ней симметрично. Следовательно, при преобразованиях Лоренца углы, образуемые прямыми W и L с мировыми линиями световых сигналов, остаются равными. Таким образом, правило равенства углов остается в силе в любой канонической системе отсчета, к которой можно перейти в результате преобразований Лоренца. Кроме того, никогда ни одна мировая линия какой-либо частицы не наблюдалась вне светового конуса, а все мировые линии внутри конуса можно преобразовать друг в друга с помощью преобразований Лоренца. Рис. 10.4 поясняет последнее утверждение.
Обратите внимание на простоту преобразований Лоренца для светоподобных координат. Читатель, знакомый с линейной алгеброй, несомненно скажет, что светоподобные координаты полезны потому, что они диагонализируют преобразования Лоренца. Чтобы хорошо разобраться в СТО, необходимо научиться строить пространственно-временные диаграммы для одной и той же ситуации в различных канонических системах
Рис. 10.3
Одновременность
Рис. 10.4
[Световой конус описан в разд. 6 на стр. 61.] 88 Гл. I. Специальная теория относительности
отсчета. Для этого требуется выполнять преобразования Лоренца, что проще всего делать с помощью светоподобных координат. В качестве упражнения повторим проделанный выше вывод преобразований Лоренца, но теперь уже с помощью светоподобных координат. Как вы помиите, мы искали координаты события А, показанного на рис. 10.2. Сейчас мы найдем светоподобные координаты этого события, которые обозначим T1 и т2. Из (10.7) при учете (10.4) и (10.5) следует
(l-v)f2'= (1 + и)т,. (10.21)
Условие того, что события А и E лежат на одной мировой линии светового сигнала, выражается равенством
t1 = t1, (10.22)
где T1 — одна из светоподобных ^координат события Е. В силу приведенных соотношений существует следующая связь между координатами событий А и Е:
T2=J^T1. (10.23)
Для дальнейших расчетов необходимо переписать в светоподобных координатах правило, связывающее интервалы времени. В таких координатах оно сводится к весьма компактному выражению
t2 = t1t2, (10.24)
где т — промежуток времени между началом системы отсчета и событием (T1, т2). Отсюда видно, что промежуток времени между началом координат и событием А, т. е. новая координата Tp определяется выражением
