Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
1
Л«=-А„=--Ьф.
(15.21)
С их помощью находим выражения для символов Кристоффеля:
[44,41 = 1 A444, [4г,4] = -І- Л44)Г,
3 3 3 3
[«•1 = Y (Jr/,,'+-Jrfw —
(15.22) и
{44}=^+T [4t,4]+T [41,л]=
2
і
< ?}=^+г[4?4
{i} = —[4г, <] + А " [4г, «] + f [4/, 4] = <15"23) 2
= 7?^,/-Jr/,,) +
В этом приближении компоненты свернутого тензора кривизны представляются довольно громоздкими выражениями. Если уравнения первого приближения удовлетворяются, та во втором приближении R^ имеет компоненты
-Ш+'Ш-
0 1 0 1
= — 7^4,//-1^,44 + Ф,,« +1 Ф, ,<!>,<' ' ^" = І У 4 ~ І 4^ 4 ~ ^ , Г
* 2 '4 2 ' 4 2 '
11 11 1 1
0 2 Xl 11
= ^(hAt,St— hJS,H + hst, U — hJt, si ) + 3 3 Ow
— { (Ф A s), t + I Ф, 4ф, S + І tK A- f
1 9 ' 2 ' 1 3
4 1/4
/¦4 J |s4j і і
/я I fm\
I m/ f і і
= 2* (Kt, st + J*, Г/ — Jw. « + J44, « — Jfb „) + + T 8'A 44 — J A, ,4 — Ф,> ,4) —
— І Ф. А» — т ФФ." — т 8«Ф, А
3
1 3
mm, ял ^44, й hmn, тп 4 Ф, 44 ~f"
з
— h
щпу ти'
Для получения уравнений движения необходимо иметь выражения для Grs: 2
J" = 2 tyh st + п — *,„ и + А44) „ —
fyt, Ts "I" Ks (^mm, па ^44, it
Jl-jU«-^!,»-
,31 <15-25>
~Ь Yr;, rt Yrs, tt ^rslmn, тп\ ~2 (Фг, т4
— Ф„ н) + и — J Ks^ 44 —
- W Ф, А* - 7 ФФ." + В Й"Ф> А
Некоторые члены этих выражений могут быть представлены как дивергенции антисимметричных величин. Поэтому для квадратной скобки имеем:
Yr/, St
+ U
rt Yrs) tt ^rstmai та
З о З З
— (Yr;, J Yri, /), і ^rtisn, a ^rsftn, a>,t 3 3 з з
и кроме того,
— 1 'Kr4 + T 0Vb, U = 4" « "
(15.26)
(15.27)
С этого момента доказательство проводится так же, как и доказательство закона сохранения массы. Интегралы от Grfcos(s, п) по замкнутой поверхности S, на которой 2 нет особенностей, должны равняться нулю. С другой стороны, интегралы от выражений, эквивалентных ротору, независимо обращаются в нуль. Поэтому должны сами по себе обращаться в нуль и интегралы от остальных членов. Эти оставшиеся члены состоят только из величин, найденных в первом приближении. Если существует второе приближение, то равенство нулю интеграла от оставшихся членов является тем интегральным условием, которому должны удовлетворять величины первого приближения. Следующие три интеграла должны обращаться в нуль:
§ {т ^rAt, /4 - Фг, ,4) - J W, 44 - J
- T +Тб b^ А,}cos («. n)ds=o.
(15.28)
Если внутри поверхности S нет особенностей, условия (15.28) удовлетворяются тождественно, так как в этом случае, пользуясь теоремой Гаусса, поверхностный интеграл можно преобразовать в объемный, подинтегральное выражение которого тождественно равно нулю. Обозначая подинтегральное выражение поверхностного интеграла через Krs, получим
<f Krs cos (s, n)dS = <j) Grs cos (s, п) dS =
= (15.29)
Покажем с помощью тождеств Бьянки, что подинтегральное выражение Gr t равно нулю. Обозначим еще выра-2 '
жения Gf через В . Разлагая В в степенные ряды по г— 2
для В. получим
1 1 Так как уже предполагается,
(15.30)
что уравнения первого при-
ближения Gw Gir, Grs удовлетворяются в области V, то 0 11
находим, что первый член, — Grsts, обращается в нуль,
даже если уравнения второго и высших приближений не удовлетворяются.
Усливия (15.28) существенны, только если внутри поверхности S имеются особые точки. Значение интегралов (15.28) зависит от особенностей, находящихся внутри S, но не зависит от формы и размеров этой поверхности. Выберем 5 в виде малой сферы радиуса R, центром которой является /^-особенность.
Вычислим далее явно три интеграла (15.28). Для 1 р
выражений (§*—у"), являющихся косинусами углов (s, п),
введем сокращенные обозначения i)f. Производными Ijj по Sr и S4 будут:
Ч», г=^-(^- 7UЧг)»
от
1
(15.31)
Вычисление упрощается, если подинтегральные выражения уравнений (15.28) разложить в степенные ряды по R-Поэтому удобно вместо трех координат ввести радиус R и направляющие косинусы Ijj, удовлетворяющие соотношению
VJj=I. (15.32)
Поскольку значения интегралов не зависят от формы и размеров поверхности S, они не зависят также и от R. Бели подинтегральные выражения Krs разложить в стелен- ные ряды по R (степенные ряды, содержащие и положительные и отрицательные степени), то будут отличны от нуля только интегралы от членов, содержащих R~2 . Это объясняется тем, что „площадь" поверхности S пропорциональна R2, и только члены подинтегрального выражения, пропорциональные R~2, могут сделать интегралы, не зависящими от R. Поэтому необходимые вычисления можно сократить, разлагая подинтегральные выражения Krs в ряды и отбрасывая все члены, которые не умножаются на R-K
р
Далее, если бы jjl обращались в нуль, т. е. если бы р-я особенность не существовала, интегралы (15.28) равнялись бы нулю тождественно. В силу этого, все члены, не
P
зависящие от jjl, в значение интегралов ничего не вносят, и, следовательно, ими можно пренебречь. Разложим ф и ф^ каждую на две части:
0.^1? Il N к A=I г
