Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
В этой главе мы рассмотрим геометрию Вейля и соответствующие ей теории поля. Формализм, которым мы будем пользоваться, отличается от вейлевского, но он ему эквивалентен в отношении образования ковариантных величин. Все ковариантные построения вейлевского формализма соответствуют рассматриваемым здесь ковариантным построениям, и наоборот. Однако в нашем формализме нет одной неинвариантной особенности вейлевского формализма — градиентного параметра и соответствующих ему градиентных преобразований.
Геометрия. В метрическом пространстве пространственно-временной интервал между двумя бесконечно близкими мировыми точками dx инвариантен. Каждой мировой точке соответствует инвариантный „конус", „световой конус", в направлении которого dt равно нулю. Идея Вейля заключается в таком видоизменении геометрии, чтобы при
1J Н. Weyl, SitzungBber. d. Preiiss. Akad. d. Wiss., стр. 465 (1918); Ann. d. Physik, 59, 101 (1919). этом сохранялась бы инвариантность светового конуса, но в то же время dx терял бы свой инвариантный характер. Вопрос о том, соответствует ли это опыту, остается открытым. Трудно сомневаться в том, что возможные направления световых лучей являются инвариантными свойствами физического пространства. Но существуют также „атомные часы", которые являются универсальным стандартом для единиц собственного времени. Конечно, возможно, что частота стандартных спектральных линий в действительности несколько меняется, так что, строго говоря, не существует точных эталонов для измерений собственного времени. Тем не менее, мы попытаемся построить геометрию, удовлетворяющую основным положениям Вейля.
Нулевые направления полностью определяются отношениями различных компонент метрического тензора. Поэтому Вейль ввел, наряду с преобразованиями координат, „градиентные преобразования", при которых компоненты метрического тензора умножаются на произвольную функцию координат. При этом линейный элемент dx умножается на тот же множитель и, следовательно, не является „градиентным инвариантом". Возможно построить геометрию, инвариантную и относительно градиентных преобразований и относительно преобразований координат.
Вместо градиентных преобразований введем „условия нормировки" произвольного множителя линейного элемента и потребуем, чтобы детерминант g^ равнялс-я—1:
ItflJ = -I- (16.1)
Если бы характер преобразования был сохранен, это условие нормировки не было бы инвариантным. Поэтому предположим в этой главе, что g^ преобразуются как компоненты тензорной плотности с весом—1I2;
gV-'— Л?
1/2 0^ /1СО\
^ ^tfl*- (16.2)
Линейный элемент dt, таким образом, уже не является инвариантным. Детерминант может быть представлен в виде произведения метрических тензоров и тензорных плотностей Леви-Чивита:
M = -Swap' • -ft,,, (16.3)
Каждая тензорная плотность Леви-Чивита имеет иес-f-l, поэтому детерминант является скаляром, а уравнение (16.1) представляет инвариантное условие. В силу условия нормировки (16.1) метрическая тензорная плотность, имеющая вес lj2, имеет только девять алгебраически независимых компонент.
Производные в градиентно-инвариантной геометрии.
Чтобы получить уравнения поля в геометрии Вейля, надо опять ввести аффинную связность и кривизну. Так как в этой геометрии тензорные плотности с весом играют основную роль, то нужно на них распространить понятие ковариантного дифференцирования. Для этого введем совокупность переменных с одним индексом Cpil, которые входят в определение ковариантного дифференцирования:
Здесь п — вес тензорной плотности Sll--x . Чтобы получить закон преобразования Jpll, достаточно рассмотреть ковари-антные производные скалярной плотности D веса п. Эти производные образуют векторную плотность веса я.
+ 1^p-,... (16.4)
D* =
:«• I I <к*«
Таким образом, имеем
и поэтому
* [(H^I) <16-5>
п Логарифмическая производная детерминанта может быть представлена просто, как
MdV W __ dg*» дЧ* __ дР fifi
дЬ db (??*&}?*«oFFdi^- ^10,0'
Отсюда получаем, наконец, закон преобразования:
дЬ і дЧ<- дЬ ( дЬ- дЧЧ \ .„
fo tP'"Т" ^ ді*їді*<—"Ж*« Vtp' dWdfrdb) (10-''
В римановой геометрии из условия обращения в нуль ковариантной производной тензора Кронекера J1 следует і її
равенство Г и Г (см. главу V). Определив понятие ковариантного дифференцирования для тензоров с весом, естественно постулировать обращение в нуль ковариантных производных тензорной плотности Леви-Чивита. Это условие связывает величины Spfi с коэфициентами аффинной связности:
gPM.'.p -f- {»''Р'з'.Г^ -{- S1^f-Fj3 +
— a'i','.'.^ = о. (16.8)
Левая часть антисимметрична относительно четырех индексов I1,... , t4, что может быть проверено непосредственно. Из уравнений (16.8) только те не являются тождествами, в которых все эти четыре индекса имеют различные значения. В этих уравнениях суммирование по р в первом члене сводится к подстановке р = C1, во втором — к р = t2, и т. д. Следовательно, первые четыре члена (16.8) равны
S'.w.r",
P а»
и условия (16.8) сводятся к уравнениям
