Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ПЯТИМЕРНАЯ ТЕОРИЯ КАЛУЗА И ПРОЕКТИВНЫЕ
ТЕОРИИ ПОЛЯ *
Теория Калуза. Остановимся еще на одной попытке создания геометрии (принадлежащей Калуза), в которой как гравитационный, так и электромагнитный потенциалы определяли бы структуру пространства'). В то время как Вейль пошел по пути создания неримановой геометрии, Калуза решил увеличить число компонент метрического тензора, изменив число измерений пространства. Он предположил, что, кроме четырех измерений физического пространства, существует еще пятое измерение, не имеющее прямого физического смысла.
Количество компонент симметричного тензора второго ранга в я измерениях равно
лг=^« + 1)- (17-1)
В пятимерном пространстве метрический тензор имеет, таким образом, пятнадцать компонент. Для того, чтобы учесть четырехмерный характер физического мира, Калуза предположил, что при соответствующем выборе координат компоненты метрического тензора не будут зависеть от пятой координаты. Наконец, чтобы уменьшить количество переменных на единицу, он принял, что в той системе координат, где переменные поля не зависят от ?8, компонента метрического тензора с индексами (5,5) — постоянная и равна единице. Исходя из этих предположений, Калуза показал, что, по крайней мере в первом приближении, четырнадцать дифференциальных уравнений:
О = 0 (p.,V — 1.....5, кроме Ois = O) (17.2)
і) Tb. Kaluza, Sitzungsber. d. Preuss. Akad. d. Wiss., стр.
966 (1921). эквивалентны четырнадцати уравнениям поля (12.55), определяющим гравитационное и электромагнитные поля, если компоненты метрического тензора, в которых один индекс равен 5, отождествить с электромагнитными потенциалами.
Вскоре было показано, что эта эквивалентность является не приближенной, а точной, если за гравитационные потенциалы принять „собственные" комбинации компонент метрического тензора.
Чтобы облегчить сравнение теории Калуза с другими теориями, разовьем сначала общий формализм, применимый и в некоторых других теориях, а затем возвратимся к строгой формулировке предположений Калуза.
Четырехмерный формализм в пятимерном пространстве. Рассмотрим пятимерное пространство с координатами Є" (a = 1,...,5) и метрическим тензором Y11lv- В дальнейшем в этой главе и в главе XVIII предполагается, что греческие индексы пробегают значения от 1 до 5, в то время как латинские индексы — от 1 до 4. В этом пространстве мы введем четыре параметра ха (а = 1,..., 4), которые являются функциями координат S®. Производные этих четырех параметров по координатам ха а должны быть линейно независимы во всех отношениях:
3 „ „ а^^^.Злг". я • , -Xа' -х"' Ф 0:
a^aaaзЛl >«j .я3 ,а4 / '
по крайней мере для одного из значений ?.
В пятимерном пространстве эти четыре параметра определяют совокупность кривых Xа = const. Через каждую точку пятимерного пространства проходит одна из этих кривых. Будем рассматривать эти кривые, как новую инвариантную структуру в пятимерном пространстве. Эта структура остается неизменной при „параметрических преобразованиях"
x*a=f°(xb). (17.4)
Покажем, что возможно ввести величины, преобразующиеся при параметрических преобразованиях, как четырехмерные тензоры. В физической интерпретации, на которой мы
і (17.3) остановимся ниже, многообразие, характеризуемое параметрами ха, будет рассматриваться как физическое пространство; поэтому исследуем, насколько геометрия пространства х" связана с геометрией обычного четырехмерного риманова пространства.
Совокупность функций от характеризующихся индексами, пробегающими значения от 1 до 4, и преобразующихся при параметрических преобразованиях, как четырехмерные тензоры, назовем т е н з о р о м" (сокращение от „parameter tensor"). Производные Xа по координатам
Ц=х\, (17.5)
являются контравариантными ^-векторами и ковариантными (обычными) векторами. С помощью этих величин можно ввести векторное поле А*, определяемое векторами, касательными К кривым AT0 = Const, которое удовлетворяет уравнениям
Эти пять условий полностью определяют А-поле.
С помощью и A1 можно определить поле „взаимное Y1S Ya' удовлетворяющее следующим условиям:
tftf=«.
4T0,1 (17-6)
1?=1. J
ї!=«. Ї
fa=0. I
(17.7)
Kfa
Эти двадцать условий ПОЛНОСТЬЮ определяют Уа-
Каждому (обычному) вектору Vя или Wp можно поставить в соответствие скаляр или р-вектор:
= 1 (17.8)
V = AaV' J
Wb = YlWr 1
W = AHTr J 1 '
Скаляр представляет собой часть V или W, параллельную А, тогда как р-вектор — часть, нормальную к А. С другой стороны, р-вектору Ua можно поставить в соответствие обычный вектор
U' = faUa (17.10)
(условие суммирования распространяется и на р-индексы); этот вектор ортогонален А, независимо от выбора Ua (в силу последних четырех уравнений (17.7)).
Метрическому тензору Yb3 можно сопоставить ковариантный р-тензор
A»= TfSTlr.?, (17.11)
который мы будем называть метрическим /ьтензором или р-метрикой.
Смешанные Y-величины обоего типа и вектор Aa дают нам возможность разложить каждое пятимерное соотношение на „четырехмерное" и скалярное соотношения. Смешанные у_величины „проектируют" пятимерное пространство на наше четырехмерное. Если их произведение свернуть по ^-индексам, получим типичный проективный тензор
