Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
TffYS = 8!.
гІА^ = 0, = 0, ^l = Zl-
Произведение любого вектора на г\ ортогонально А. Легко показать, что может быть выражен через символ Кроне-кера и вектор А:
sI = ^- AJP- (17.13)
Доказательство производится посредством умножения выражения ($2 — AaA^ — si) на пять линейно независимых пяти-компонентных совокупностей Yo> А", Все пять произведений
Ql-AAPs^ra = 0, (&« — AtA^ — sjj) Aa = O
(17.12) равны нулю. Но если произведение пятирядной матрицы на пять независимых ,векторов" равно нулю, то такая матрица будет нулевой матрицей.
Каждый вектор может быть представлен через соответствующие ему -вектор и скаляр следующим образом:
Ua=FJJa+ AaU. (17.14)
Действительно, если заменить Ua и U выражениями (17.8), то для правой части (17.14) получим
ft -f A* AJfl==(?$ + ЛМЭ) UP=bf? = U\
Анализ в р-формализме. Кроме дифференциальных ковариантов риманова пятимерного пространства, существуют еще дифференциальные коварианты, свойственные только рассматриваемому здесь формализму. Рассмотрим каждый из них в отдельности.
Внутреннее произведение (обычной) производной р-тензора на вектор А"
является р-т е н з о р о м того же типа. Доказательство проводится непосредственным вычислением. Будем называть этот тип ковариантного дифференцирования ^-дифференцированием, р-тензор, ^-производная которого равна нулю, будем называть полем, цилиндрическим относительно А-поля, или, короче, Л-цилиндрическим.
Рассмотрим теперь некоторые из таких Л-производных. В первую очередь остановимся на Л-производной метрического р-тензора, gmn, *А*. Покажем, что она может быть выражена через ковариантные производные А-поля. Величины gmn,nA* можно заменить выражением
gmn, И* = VmTa • Yffirs, И*' Преобразуем произведение, стоящее справа от точки:
YprYX, и"=Ккргх).« - *=•
= [(Ypa - К ,г.-4" YJrt1,) *„] а> =
= [YP5, В « А» -Ав, Л А" +
+ (ТХА\ P + YpYiHei,) Srs =
= (Ype1 а Ар, в Aj-а Af) А"
+ <Y« - A4) Л", Р + (Lp - AaAf) А',. = = (Y« « — A. .Aa-An .І4„)І4«-І-
> і рО} а р) а а а j » р' і
+ И., р + Ar,.) — A' (Y„, р + ,) +
Ч-А'(А3Аа>р + АрАа>а).
Теперь можно сгруппировать члены таким образом, чтобы получить выражение (пятимерного) тензора:
% YX,. А' = (Af,. + Aetf-2 [р®, «] А") - Ї
-ИрА+л.вЛМ'= > (17-15>
где Ap3 и ?p — соответственно тензор и вектор, определяемые выражениями:
Af3 = Aete-Aetf, (17.16)
Bt = AfiA-. (17.17)
Для /!-производной метрического тензора, находим, таким образом:
^ И" = YiYI Ир;.+>».;,)¦ (17.18)
Квадрат линейного элемента
равен сумме квадратов /7-линейного элемента
** = Sob YSf? d^ (17.19) и компоненты дифференциала координатного вектора в Л-направлении
dz\ = (AJ^)K Рассмотрим произвольную кривую в пятимерном пространстве, конечные точки которой суть P1 и P2. Если всю кривую сместить так, чтобы все ее точки сдвинулись вдоль /4-кривых на одно и то же расстояние, то р-длина кривой
С'
Sh2=^ds (17.20)
останется неизменной, если /»-метрика является /!-цилиндрической. Л-ддина кривой останется неизменной, если вектор В равен нулю:
Bp = 0, (17.21)
а (пятимерная) длина кривой не изменится, если А-поле удовлетворяет уравнению Киллинга
+ = (17.22)
Для того, чтобы /»-метрика была цилиндрической, достаточно, чтобы правая часть уравнения (17.15) равнялась нулю. Это условие слабее, чем условие Киллинга, так как произведение правой части уравнения (17.15) на Af тождественно равно нулю; другими словами, существует только десять алгебраически независимых компонент уравнения (17.15), в то время как уравнения Киллинга имеют пятнадцать компонент. Очевидно, что из одновременной ци-линдричности р-метрики и цилиндричности „Л-метрики" следует цилиндричность (пятимерной) метрики, и наоборот.
Далее рассмотрим ^-производную от антисимметричного p-тензора <g„,
<Р„ = ГЛИр,- (17-23)
Этот тензор <рм впоследствии будет интерпретирован, как тензор электромагнитного поля. Его ^-производными будут
bs, a A' = Y ж-W пв <Р*Я, « ^ =
=Y X; [ V«—<їГї?>. J
Tpa Yp Yairs' В квадратных скобках исключим у™ и Y"- Это можно сделать при помощи следующего преобразования:
Чтп (Y"Y?),* А° = Чти (Y™ PY? + YpmY.", а) >1" =
= — (YfY?-4", р + а) =
Поэтому имеем:
tPr,, « ^ = TX Itf,, а Л* + tPpH1i . -tP1H", р1-Так как произведение <рр1 на Aa равно нулю, имеем Vrs, a A Y^Yj (tPpI1 а tPn, р tPap1 j)
=YX [(^ЛД.+(? SMltv), ? +
Чтобы вычислить выражение в квадратных скобках, примем во внимание, что циклическая производная от A^ равна нулю и что і4М'Д также равно нулю. Учитывать при этом нужно только те члены, в которых один из двух множителей заменем на а другой — на (— Av-Af). Тогда получим
tPr,, . Л« = — ЯГ, [Hiwдм, + Ар,^Ав\. 4-
+ (АИЧ+ Vім«),.+ (Vam-+VmJJ =YrYs K5A - bAI .+(?A - ЯД). *+
После проведения дифференцирования большинство членов выпадает, либо в силу того, что BaAa равно нулю, либо благодаря тому, что непродифференцированные Ap умножаются на f. Окончательным результатом будет
H-=Y^ (V-zW- <17-24>
Рассмотрев „ Л-дифференцирование", перейдем к рассмотрению другой дифференциальной операции, „р-диффе-ренцирования". Назовем выражение
