Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
P P Nk к
_v* i1 ar' A=I г
(15.33)
где сумма ^ распространяется на все значения k, кроме Аі = р.
В Krs входят как линейные относительно ф и фг члены, так и квадратичные. В линейных членах нужно рассматривать только выражения, зависящие от і и t^. Имеем:
р R2
P iі
[^4 = — у' 1),-^-(- члены, зависящие от R
—з
'г, ,4= —УЪ-ТР+-"
' t I
',44- —у Ъ #2 "Г • • •
(15.34) Линейные члены, интеграл которых не равен нулю, умноженные на
cos (s, п) = Jjjl
равны
р
J-JL /
После интегрирования но S они дают
2 тг Yyr=Lr. (15.35)
Обратимся теперь к квадратичным членам, і и Ij умножаются на R-1, их первые производные по пространственным координатам — на R—2, и их вторые производные— на R-3. Очевидно, что все члены, квадратичные
P
относительно р., умножаются на R-4, и поэтому ничего не вносят в интегралы. Таким образом, необходимо рассматривать только члены, билинейные относительно выражений t и A. Кроме выражений t, нам еще понадобятся
t,r и і, rt, которые имеют вид:
р
1,г — 4~ »2 rIr'
«л = ¦&(*« — 3V),)-
(15.36)
Эти [-выражения умножаются на X и ее производные. Само X умножается на вторые производные т. е. на выражения, пропорциональные R-3. Поэтому для вычисления интеграла существенны только те члены в степенном разложении )., которые пропорциональны + \ По тем же причинам для вычисления интегралов (15.28) будут существенны только те члены первых производных от X, которых умножаются на R0; эти члены являются первыми производными от интересующих нас членов в разложении самого X. Наконец, во вторых производных нас интересовали бы члены, пропорциональные R-1, но они равны нулю, так как X регулярна внутри 5. Для получения степенных рядов для X1 разложим к к сперва выражения г. Запишем г в виде
*=[(?'—У) (?' —У)]1'2= р,к pji =([ У+R \) (У+я ч. )11'2' Р,к р к У=у—у.
(15.37)
Обозначим „координатные расстояния" между р-й и А-й
р к P к
точечными массами [(У—У) (У—У)]''' через тогда к
для г получим степенное разложение: рЛ
А'+Ш«+-}-
(15.38)
= г
а разложение для X примет вид
ЛГ . ft p,ft
S'^O-O«+-)- ,,5-39)
Только второй член этого разложения
Nk.
X = ...+ ^f7S-Tll у ч, Я+••• ,
ft=i [ Р'к>
(15.40)
существен для интегралов (15.28). Его производные равны
(15.41)
N
Х'тгт/у+-
Нелинейными членами в интегралах (15.28) тогда будут -T M1,+',Ar) —t>V.+t W,*=^- (15-42> Подставляя выражения (15.36) и (15.41) в уравнение (15.42), получим для Nrt:
N рк і г і Р.* Р.к
а для произведения Nrs на cos («,я):
N Р* г . P ъ о р,к ,
Это выражение нужно проинтегрировать по поверхности S. Для этого рассмотрим интеграл
X Р'к
#4/ WS-
S
Нужно отдельно вычислить два интеграла: -л*
У (TtIr)1 dS (не суммировать по г!) (15.45)
Г
і
p,k
Чt/^dS іфт. (15.46)
Сферу S можно разделить на две полусферы, на одной из которых Ijr положительно, а на другой — отрицательно. Ijt в свою очередь будет положительно на одной половине каждой полусферы и отрицательно — на другой. Интеграл (15.46) обращается в нуль, так как интегралы по соответствующим четвертям сфер взаимно уничтожаются. Для вычисления интеграла (15.45) введем полярные координаты с полюсами в двух точках Jjr=I. Тогда получим:
'=T
<?у(4г)ї</5 = 2іг j У • sin* 0 Cos OrfO = J-Tt^y. * »=--
2 Наконец, находим, что интеграл от выражения (15.44) равен
Наше условие заключается в том, что сумма из Lr выражения (15.35) и Qr должна равняться нулю:
(15-48)
к = 1 р,я
P к
Деля это уравнение на р. и подставляя вместо Ji его значение из уравнения (15.14), получим классические уравнения движения
N к
pr V'
(15.49)
Метод Эйнштейна, Инфельда и Гофмана применим также и при наличии одновременно гравитационного и электромагнитного полей. И в этом случае во втором приближении уравнения поля имеют решения только тогда, когда первое приближение удовлетворяет некоторым интегральным условиям. Эти условия эквивалентны уравнению (15.48). с добавочным членом, соответствующим кулонову полю.
Заключение. Очень важно выяснить, почему в одной теории поля (теории гравитации) уравнения движения получаются из уравнений поля, в то время как в другой теории (теории Максвелла) этого не происходит. Основная причина состоит в том, что уравнения гравитационного поля удовлетворяют четырем тождествам, тогда как уравнения Максвелла только одному. Значение этих тождеств для уравнений движения было показано как Вейлем при исследовании точных решений с осевой симметрией, так и Эйнштейном, Инфельдом и Гофманом в их приближенном методе. Благодаря этим тождествам уравнения поля общей теории относительности являются одновременно как бьг ,переопределенными" и „недоопределенными". Уравнения поля линейны относительно вторых производных. Однако разрешить их относительно второй производной такой координаты, как S4-, невозможно, так как четыре из десяти уравнений поля, Gis и Gii, содержат только первые производные по S4. Поэтому невозможно произвольно задать все переменные поля и их первые производные по S4 на некоторой гиперповерхности S4 = const; на этой гиперповерхности эти величины должны удовлетворять четырем условиям. В этом смысле уравнения переопределены.
