Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Геометрия замкнутого пятимерного пространства предполагается римановой. Это налагает еще одно ограничитель- ное условие, которое уменьшает число переменных поля от 15 до 14. Метрику теории Калуза мы называли /!-цилиндрической. Другими словами, пространство Калуз'а является цилиндрическим не только относительно некоторого векторного поля, но и относительна поля единичных векторов А. В силу этого Л-кривые Калуза являются геодезическими, и в специальной системе координат у65 равна единице. В рассматриваемой геометрии условие цилиндрич-ности Калуза заменяется условием замкнутости пятимерного пространства. Кроме того, предполагается, что геодезические линии вокруг цилиндра, соединяющие данную точку с нею же самой, пересекаются под углом, равным нулю, т. е. являются замкнутыми непрерывными кривыми. Это условие заменяет условие Калуза о цилиндричности его пространства относительно поля единичных векторов.
Через каждую точку пятимерного пространства проходит одна и только одна замкнутая геодезическая линия.
Длину такой линии, один раз обходящей вокруг цилиндра и возвращающейся в исходную точку, будем называть „периметром" пространства в пятом измерении. Докажем теперь, что этот периметр везде имеет одну и ту же величину.
Рассмотрим замкнутую геодезическую линию, проходящую через точку Р. Ее длина S равна
р _ я
где р — произвольная функция координат; путь интегрирования является замкнутой геодезической линией. Изменим теперь координаты каждой точки вдоль этой замкнутой геодезической линии на бесконечно малую величину 85' так, чтобы получить новую линию. „Конечная точка" P не считается при этом фиксированной. Разность между длиной новой линии и длиной старой линии будет равна:
is = \-_ - dp =
=IItW H^p+у.,***} Л>
р р
(18.3)
где точки означают дифференцирование по т, угловому
расстоянию от Р. Интегрируя по частям, получим: р
bS = f{l UpH^p - V ?iW -p
+ (18.4)
p
= - + Ц S&P^+j4P W
Выражение в круглых скобках равно нулю, так как первоначальная линия геодезическая. Поэтому вариация 5 зависит только от вариации координат в двойной конечной точке
JS (18.5)
Выражение в квадратных скобках является скалярным произведением двух векторов: и и поэтому инвариантно. Так как на двух границах в действительности представляет одно и то же бесконечно малое смещение, а — то же направление, оба члена взаимно уничтожаются и US обращается в нуль. Таким образом, S остается постоянным при таком переходе от одной замкнутой геоде- зической линии к другой, когда варьирование происходит так, чтобы все промежуточные линии были геодезическими.
Периметр замкнутого пространства, в котором все пересекающие сами себя геодезические линии являются замкнутыми и непрерывными (без разрывов производной), является, таким образом, постоянной, характеризующей пространство.
di"
Векторы, касательные к замкнутым геодезическим ,
образуют поле единичных векторов. Обозначим это поле через А и применим к замкнутому пятимерному пространству формализм, рассмотренный в предыдущей главе.
Так как А-поле состоит из векторов, касательных к геодезическим, оно удовлетворяет дифференциальным уравнениям.
что означает согласно уравнениям (17.17) и (17.21), что Л-метрика.
является Л-цилиндрической. Уравнение (18.6) принимает особенно простой вид в специальной системе координат.
Введение специальной системы координат. В специальной системе коордннат А имеет контравариантные компоненты (0,0,0,0,1) и ковариантные компоненты (ybs, 1). Уравнение (18.6), таким образом, приобретает вид:
А\ ЛР=0,
(18.6)
dvA = Atd*
(18.7)
(18.8)
или
(18.8а) Так как в специальной системе координат у6в постоянно и равно единице, для уравнения (18.6) получаем окончательно
ї0в,в = «Рв,Б = 0, (18.9)
другими словами, величины tp, не зависят от S5.
Остальные компоненты метрического тензора периодичны относительно ?6, так как Л-кри-вые замкнуты и возвращаются в любую точку, через которую они проходят. Координатное расстояние точки от самой себя (вокруг трубы) равно метрическому расстоянию, так как у65 равно единице. По тем же соображениям это справедливо и для любой точки в рассматриваемом пространстве.
Все поля, однозначно определенные в нашем замкнутом пространстве, являются периодическими функциями от S5 с периодом 5 (18.2).
Таким образом, в специальной системе координат пятимерная метрика распадается на совокупность десяти функций ётп<
= (18.10)
которые периодичны относительно S5 с периодом S, и на четыре функции (ри, зависящие только от S1,..., S4.
В сипу (18.9), вектор Bf, (17.17) и (17.60), равен нулю,
а единственными дифференциальными тензорами первого порядка являются
frs = fr,j — b,r (18.11)
[в силу (17.59)] и
8тп,ь = Ат,п-\-Ащт (18.12)
[в силу (17.18)]. Получение уравнений поля из вариационного принципа. Исходя из геометрии замкнутого пятимерного пространства с замкнутыми координатами, Эйнштейн и его сотрудники нашли две различные совокупности уравнений поля. В этой главе мы рассмотрим одну из этих совокупностей.
