Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
В „специальной системе координат", в силу уравнений (17.60) и (17.59), величины <рг и их антисимметричные производные corjl
<?rs = 4r,s — lPs,r> (17-65)
не зависят от S5.
Мы видим, что в теории Калуза при выборе специальной системы координат как grs, так и <рг, не зависят от S6 и что антисимметричные производные от <рг образуют р-тензор. Если не использовать специальной системы координат, то определить fr становится невозможным, но р-тен-зор <prs тем не менее удовлетворяет второй паре уравнений Максвелла (17.64), a grs и yrs являются функциями только четырех аргументов ха. Поэтому grt и yrt обладают всеми свойствами, соответственно, гравитационных потенциалов и электромагнитных напряженностей поля общей теории относительности.
Чтобы получить уравнения поля, Калуза предположил, что лагранжианом вариационного принципа является пятимерная скалярная кривизна R, умноженная на квадратный корень из детерминанта | |. Пятимерная скалярная кривизна связана со скалярной р-кривизной с помощью (17.51). Так как Bp в теории Калуза обращается в нуль, и так как только антисимметрические части ковариантных производных Af не исчезают, (17.51) сводится к следующему виду:
R = bln gVRtk* + J-Vp3 = ^klRtkL + j <р„<Г- (17-66)
В силу (17.61), в специальной системе координат детерминант I у„э I может быть заменен на | gab \. Так как лагранжиан Л-цилиндричен, то вариационный интеграл может быть распространен как на пятимерную область координат Sa,. так и на четырехмерную область параметров ха. Поэтому для вариационного принципа Калуза имеем:
a J ( + J bsfs) V=gdx = 0, (17.67)
где вариации подчиняются условиям
» = 0. <»?Д» = 0- (17.68)
Этот вариационный принцип эквивалентен уравнению (12.56). Получающиеся отсюда уравнения поля таковы же, как и в общей теории относительности (включая электромагнитное поле).
Проективные теории поля. Калуза ввел пятое измерение исключительно с целью увеличения числа компонент метрического тензора, не приписывая ему никакого реального смысла. Аналогичная операция производится и в так называемых проективных геометриях, которые описывают я-мерное пространство при помощи я -1-1 однородных координат. В проективной геометрии все „проективные точки", для которых все отношения я —|— 1 однородных координат имеют одинаковые значения, рассматриваются, как „одна и та же" точка. Некоторые авторы, в частности Веблен и Гофман1) и Паули») использовали этот принцип при создании своих единых теорий поля. Наш общий формализм применим и к их теориям, однако геометрическая интерпретация будет иной. Пятимерные координаты должны рассматриваться как „проективные- координаты", в то время как реальное пространство является четырехмерным пространством параметров Xа. Каждая „проективная" Л-кривая является только точкой в реальном пространстве. Поэтому метрика по существу является Л-цилиндрической, С точки
і) О, Vehlen, Projektive Relativitatstheotie, Berlin, Springer, 1933, часть: .Ergebnisse d. Mathematik u. ihrer Grenzgebiete. (Содержит библиографию.)
*) W. Pauli, Ann. d. Physik, 18, 305(1933); 18, 337(1933). зрения нашего общего формализма нет разницы между теориями Калуза, Веблена и Гофмана и Паули. Уравнения поля во всех трех теориях одни и те же. Однако в каждой из этих трех теорий авторами используются различные системы координат.
Специальную систему координат Калуза мы уже рассмотрели. Обозначим его координаты через Jt11 ..., Xі, х° (= S5). Веблен и Гофман выбрали систему координат, более часто встречающуюся в проективной геометрии. Она связана с координатами Калуза уравнениями
В такой системе координат компоненты метрического тензора имеют вид
Их выбор координат допускает, помимо преобразований первых четырех координат друг в друга, еще преобразования вида
при которых компоненты метрического тензора преобразуются следующим образом:
(17.69)
(17.70)
S« = F (*•)?»,
(17.71)
1
1
(17.72)
Sab Sab'
у Паули выбрал систему координат, которая может быть в полном смысле слова названа однородной 1J. Его координаты связаны с координатами Калуза уравнениями:
АГ«=/«(лг*)ех\ (17.73)
(17.74)
(0)
.xa=A0(ATP),
^ = IogcA(XP), (0)
где А" — четыре однородные функции нулевой степени, (0) (0)
Ae (OATP) = A0(ATP), (17.75)
О)
и h (Xf) — однородная функция первой степени, (і) (і)
A(aATP) = aA(AfP). (17.76)
Переходы от одной однородной системы координат к другой производятся при помощи однородных уравнений преобразования первой степени
АТ*Р = Hf (Xа). (17.77)
Контравариантными компонентами вектора А в однородных координатах будут
Af=- = Xp. (17.78)
В формализме Паули сами координаты имеют векторный характер и идентичны с компонентами Af.
А-цилиндричность приобретает специфический вид в системе координат Паули. В координатах Калуза А-цилиндри-ческий тензор не зависит от координаты При переходе
і) Подробное изложение теории Паули можно найти в книге Л. Ландау н Е. Лифшнца, .Теория поля", ГТТИ, 1941. (Прим. ред.) к координатам Паули тензор Va. закону:
