Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бергман П.Г. -> "Введение в теорию относительности" -> 88

Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.

Бергман П.Г. Введение в теорию относительности — Иностранная литература, 1947. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuotnositelnosti1947.djvu
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 .. 91 >> Следующая


Можно получить уравнения поля, как уравнения Эйлера-Лагранжа вариационного принципа. Существуют четыре различных дифференциальных скаляра второго порядка, каждый из которых ведет к различным уравнениям поля. Такими скалярами являются:

Все остальные дифференциальные скаляры второго порядка отличаются от линейной комбинации этих четырех только на дивергенцию, которая не вносит изменений в уравнения Эйлера-Лагранжа. Линейная комбинация этих четырех скаляров, умноженная на квадратный корень взятого со знаком минус детерминанта, V — IypeI (или в случае специальной

системы координат на У —g), и проинтегрированная по пятимерной области координат S1...., ?5, является инвариантом.

Вариация такого интеграла

должна сохранять характерные геометрические свойства замкнутого пространства, т. е. при использовании специальной системы координат вариации срг не должны зависеть от S8, а вариации gma должны быть периодичны относительно S6 с периодом S. Поэтому мы не можем потребовать, чтобы вариации (рг и grs равнялись нулю на всей

(^-Ь^) Ик.+^p) YibT; (!8-13)

(18.14) границе произвольной области интегрирования. Однако вариация на границе ничего не добавит к вариации интеграла в том случае, если при интегрировании обход по области совершается вокруг трубы только один раз, другими словами, интегрирование по S5 производится только в пределах одного периода. Кроме того, ig" и Stpj должны при этом обращаться в нуль на той части границы, которая создается Л-кривыми. Таким образом, вариация принимает вид:

5 [н/— g =

=1 {QJsrs+js^s} V=FЛ1...

(18.15)

где предполагаются выполненными только что указанные условия (8? не зависит от S5, ^grs является периодической функцией относительно S51 остающейся до известной степени произвольной). Интеграл I будет стационарен, если удовлетворяются следующие уравнения:

і

Qrs = 0, = (18.16)

es=o

Мы не можем потребовать, чтобы Js везде обращались в нуль, так как, если интеграл (18.16), который нужно один раз взять вокруг Л-кривой, равен нулю, вариации tpf, постоянные вдоль каждой Л-кривой не будут входить в Ы.

Интегро-дифференциальные уравнения (18.16) удовлетворяют пяти интегро-дифференциальным тождествам. Если произвести бесконечно малое преобразование специальных координат

е«=5»+(р), /

(18.17) переменные поля grs и <р, преобразуются следующим образом:

Zgrs=$V),t-\-gts (KX-Wgrs,*

или

Zgrs=Sr' +g" (Ар№),

(18.18)

Если выбрать совокупность 85», обращающуюся в нуль на указанной части границы области интегрирования, создаваемой А-кривыми, вариация J при таких бесконечно иалых преобразованиях должна обратиться в нуль, даже в том случае, когда уравнения (18.16) не удовлетворяются:

O=J { Qr, [*" m-t + (SSO;/ - gT% (А9ЬЩ+'

=S {[ - 2 qu + 1- QrJfi\ -

-As] (V^p)IK=FdS.

(18.19)

При проведении интегрирования по частям, необходимого для получения этих уравнений, были опущены все члены, представляющие собой ковариантные дивергенции. Ковариантная дивергенция р-псевдовектора является линейной комбинацией обычных производных



(18.20)

Поэтому она обращается в нуль при интегрировании по области, на границе которой компоненты 33* исчезают.

В уравнении (18.19) JS1 не зависят от S51 но во всем остальном остаются произвольными внутри области инте- грирования. Отсюда можно заключить, что уравнения (18.16) удовлетворяют тождествам

S

$ (2 Q^ + 4tsJ!) V—g 2S6 ^ О,

= O

J + Q,,/!5) K=F^5 = O.

e5=o s

P=O

(18.21)

Относительно вида выражений Js и Qrs можно сказать следующее. Qrs содержит те же члены, что и уравнения поля общей теории относительности, в которых все производные заменены р-производными

Srs І t-Srut Srsjft'

и так далее; кроме того, Qrs содержит члены, в которых р-метрика продифференцирована по E5. Выражение Js содержит максвелловские члены <pr?s и, кроме того, члены, являющиеся произведениями р-производных и Л-производных от grs. Другими словами, мировая плотность тока в этой теории не равна нулю.

Дифференциальные уравнения поля. Имеются два возражения против уравнений поля, полученных из вариационного принципа. Во-первых, эти уравнения определяются неоднозначно; всякая линейная комбинация скаляров (18.13), умноженная на У —g, может быть использована в качестве лагранжиана. Во-вторых, уравнения поля, полученные таким образом, не являются чисто дифференциальными уравнениями.

Если бы уравнения поля представляли собой систему чисто дифференциальных уравнений, их следовало бы подчинить более сильным тождествам, чтобы они имели решения, имеющие смысл. В действительности же имеется четырнадцать дифференциальных уравнений, связанных четырь- мя дифференциальными и одним интегро-дифференциальным тождеством; при этом система определена однозначно.

Рассмотрим пятнадцать выражений Gfa, образованных из свернутого пятимерного тензора кривизны

Эти пятнадцать величин удовлетворяют пяти соотношениям

(VJG Р°))0+j/7G«{tp0}=O. (18.23)

Если V Y Gps обозначить через ©р9и выбрать специальную систему координат, (18.23) примет вид
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed