Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бергман П.Г. -> "Введение в теорию относительности" -> 84

Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.

Бергман П.Г. Введение в теорию относительности — Иностранная литература, 1947. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuotnositelnosti1947.djvu
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 91 >> Следующая

= (? — А'А,) (t — A*A*)RlxX: + + (Г* - AM1) [Ap :x Axp + + A?;x Ax; P-ApipAx;,] =

= R 2A"Al/?xx + Vk ; * Axp +

+ Ap; x Ax; p — A?; p Ax; x] + BfBf = = R- 2А»А*ЯхХ + 2Ap-. 0 A1-P-— YPM1; p At., — (Ap. р)г + BfBK

Член (— 2AxAkRxx), входящий в это выражение, представим в несколько иной форме:

А"АЧ?1Хх! = Al(A1; 1Х — A1ix,) = А" (А';,), х —

— ?,;i + AX;(At;x. (17.50)

Подставляя (17.50) в (17.49), найдем, что скалярная р-кривизна связана с (обычной) скалярной кривизной соотношением

Ы

°П g»Rm" = R- YpsAt; р А т; . -— (Ар; ,)« -f BfBf — 2Ax (A.,)., + 2ЕГ;

(17.51)

Следует подчеркнуть, что с точки зрения теории инвариантов развитый здесь формализм представляет собой не что иное, как теорию поля единичных векторов в метрическом пространстве. Значение такого представления состоит в том, что в единых теориях поля, использующих пяти- мерный формализм для описания физического мира, четыре параметра Xа предполагаются представляющими четыре координаты нашего физического пространства.

Специальный тип системы координат. Отвлекаясь от ковариантных предположений, касающихся поля А, которое характеризует данную единую теорию поля, следует отметить, что большинство авторов ограничивается рассмотрением специального типа системы координат, в которой параметры х1, Xі отождествляются с первыми четырьмя координатами S1, ..., S4, в то время как пятая координата выбирается так, чтобы компонента Л6 вектора А равнялась

единице. Остальные четыре компоненты Л1.....Ai равны

нулю. Систему координат, удовлетворяющую этим условиям, назовем „специальной системой координат". Единственными преобразованиями координат, переводящими одну „специальную систему координат" в другую, будут преобразования типа

?*«=/«(?) совместно с х*а=Za(Xs), ?*б-?6-)-/6 (Sj).

Такие преобразования назовем „специальными преобразованиями координат".

В специальной системе координат метрический тензор имеет компоненты

у =+ уаз=/ Sab, -SasIs (

и > <рь. if' Y У-Sbsb> '

(17.53)

где (рв представляют собой первые четыре ковариантных компоненты А:

Ap = Cfr, 1). (17.54)

Закон преобразования ga6 таков же, как и для р-тен-зоров, и поэтому не зависит от функции /5 в (17.52). С другой стороны, <fr преобразуются согласно законам

ASs

€ = -P,*). (17.55)

(17.52) Таковы законы преобразования гравитационных и электромагнитных потенциалов относительно „координатных" и „градиентных" преобразований. (Выражение „градиентное преобразование" не следует понимать в смысле градиентных преобразований Вейля.)

Различные дифференциальные операции, рассмотренные в настоящей главе, принимают в специальной системе координат специфическую форму. Л-дифференцирование сводится просто к дифференцированию по S6:

Чтобы получить выражение для /^-производных, найдем сперва значения и в специальной системе координат:

[=1, ...,4

Н" H

O=I1

а = 5\ О

а = 5\

-<р.Г

(17.57)

(17.58)

(17.59)

(17.60)

Для р-производных получим выражения V\a=Va-VaVt. р-тензор <frs приводится к виду

Ъш = Tr rs\ = Vг, S- Vs, г — VtVr, в + VrVs, I Вектор Bf имеет компоненты

Br = (Vs, Б. 0), а для скаляра Afip получим

=^O0S I Y«pl), б-

Детерминант | у^ | можно выразить только через grt- Умножая последний столбец его [см. (17.53)] на <рй и вычитая результат из первого столбца, получим

I Y»? I =

V6

Va Sab' Va
1 0 , 1

= Iffabl (17.61) Отсюда найдем для Apif:

Ari , = 4 (logI grs \\t = I g«grSt 6. (17.62)

1

В специальной системе координат производные А-цилиндрического р-тензора по Ss равны нулю. Если производные (обычного) тензора по E8 равны нулю в одной специальной системе координат, то они равны нулю в каждой специальной системе координат, и мы будем называть такой пятимерный тензор А-цилиндрическим.

Оказывается, что (обычные) производные тензоры по St образуют тензор того же типа. В общей системе координат эти дифференциальные выражения имеют вид:

Если этот тензор равен нулю, то тензор V1"'»... называется А-цилиндрическим. Как и выше, метрический тензор Yll9 будет А-цилиндрическим в том случае, когда удовлетворяются уравнения Киллинга (17.22). Согласно обобщенному определению і4-цилиндричности, Y« А-цилиндричны, в то время как YJJ1 вообще говоря, таковыми не являются.

Ковариантная формулировка теории Калуза. Ограничения, наложенные Калуза на пятимерную метрику, эквивалентны предположению, что она является Л-цилиндри-ческой, т. е., что Af удовлетворяют уравнениям Киллинга (17.22). Вследствие этого векторы Bf равны нулю, и А-кривые являются геодезическими. Из уравнения (17.18) следует, что р-метрика также является А -цилиндрической.

Далее, в силу уравнений (17.24), <р„ также является А цилиндрическим тензором. В р-тензоре (<pri|/ + tp«|r + + ^tr і *) черточки могут быть заменены запятыми — обыч-

^-....,5= Vx...,A\,V"\...-

= V-,....рA1if V",.. +^,,Vy.. + ...

(17.63) ным дифференцированием по параметру Xа. В силу (17.29), этот р-тензор равен нулю:

+ ^ = (17-64)

Эта совокупность уравнений является условием, которое должно удовлетворяться в том случае, когда <frs представляет собой антисимметричные производные четырехмерной функции Фг. Эти четыре функции определяются Ifrs с точностью до произвольного аддитивного градиента.
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed