Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
г,:. (16.9)
В геометрии Вейля метрическая тензорная плотность с весом 1Ii играет ту же роль, что метрический тензор в римановой геометрии. Поэтому предположим, что его ковариантные производные равны нулю. Если, как и прежде, еще предположить, что коэфициенты аффинной связности симметричны в своих нижних индексах, получим уравнения:
ftr.psa«,,—в^'р-яЛ', + JWP = 0- Об.»))
Эти уравнения можно решить, если ввести „контравариант-ную метрическую тензорную плотность" C BeCOM-J-1Z2, gv*
«н^*=«:- (16.1П
Решение уравнения (16.10) тогда запишется в виде Г« = 2" ^x" (&„ х I SiajI ?ix,s) I
+ («Л + &Л — = (Jx)- (16.12)
Для свернутой аффинной связности Qx) снова получим уравнение (16.9). Псевдовектор tp, и метрическая тензорная плотность с весом 1Ii g независимы друг от друга. Оба они необходимы для образования коэфициентов аффинной связности.
Тензор кривизны /?1іХ* антисимметричен в і и х, обладает циклической симметрией, выражаемой формулой (11.29) и удовлетворяет тождествам Бьянки (11.35), так как эти тождества справедливы для любого тензора кривизны, образованного при помощи симметричных Г*. Однако он не обладает другими свойствами симметрии тензора кривизны римано-вой геометрии. Свернутый тензор /?lxX\ также не является симметричным относительно индексов x и X. Поэтому при образовании свернутых тождеств Бьянки следует соблюдать некоторую осторожность.
Свернем сначала тождества
Я^+^. + Я^.^О (16.13)
по индексам і и v. Тогда получим тождества:
VU + + Vi, = + Kxllf -
-RtkIit-O (16.14) Поднимая далее индекс а и свертывая по х и о, получим
тде величины R являются плотностями.
В римановой геометрии тензор кривизны антисимметричен в последних двух индексах, благодаря чему, как было показано, второй и третий члены в (16.15) становятся равными. В геометрии Вейля эти соображения неприменимы. В этой геометрии аналогичной величиной, симметричной в последних двух индексах, является ковариантная тензор-лая плотность кривизны RnX,s Введем обозначения
('•*> = А. С*) = і (?,. + S*,. — +
+ 4 (ад* + &Л — ?,?). О6-16>
где gi7l>x — производные метрического тензора. Тогда
= + — ^tflA- (16.17)
С помощью (wc1X) ковариантная тензорная плотность кривизны может быть представлена в виде
Я«* = (*'< Iі),«¦+ І ft'« Й tPx — (X«, J*),. —
— \ (>•*> Ji) Ъ + Sp9 [(X*. р) (Jit. о) — (Xt, р) (fix, a)] =
= ^lrtll + -J [^?., — ft^,, + gXf. (<Р„, — ?,„) +
Б Raikf. справа включены все члены, обладающие всеми теми же алгебраическими свойствами симметрии, что и римановский тензор кривизны; остальные члены этими свойствами не обладают. Последние обладают только свойствами симметрии (11.28) и (11.29). Если образовать выражение ^uiA> равное нулю в римановой геометрии, лолучим
Яц* = - Я11(А + 2^ (?„х - *„.)¦ (16.19)
,(16.18) Хотя Jpl и не является вектором, его антисимметричные производные
tPlX = 1PljX-1PX,, (16-20)
образуют тензор, что может быть проверено с помощью (16.7).
Видоизменяя второй член (16.15) с помощью (16.19), получим
ад* —2V.;. (16.21)
Это тождество можно преобразовать так, чтобы в него вошла симметрическая часть выражения RfAft,
(16.22)
Из (16.18) находим, что Rxl и связаны следующим
образом:
Я,= 7 <Рь- (16.23)
Подставляя это выражение в (16.21) получим свернутые тождества Бьянки в виде
(Rke— Jtfx"*) .,+ "!^ = O- (16.24)
Заметим, что <рх® является тензорной плотностью с весом 1, и, следовательно, <рА®;(, представляет собой обычную дивергенцию от <рь, т. е.
= (16.25)
Физическая интерпретация геометрии Вейля. В геометрии Вейля геометрическая структура пространства характеризуется симметрической тензорной плотностью с весом 1/,5- и „ псевдовектором « Казалось бы естественным предположить, что g^ представляет гравитационное поле, a tp^ являются компонентами мирового вектора потенциала. В первоначальном формализме Вейля величины Ipjil преобразовывались как вектор при преобразовании координат, но изменялись на градиент при градиентном преобразовании. Это и является исторической причиной, почему прибавление градиента к электромагнитному мировому вектору потенциалу носит название градиентного преобразования. Составим теперь уравнения поля для g^ и (р^.
Вариационный принцип Вейля. Вейль стремился получить уравнения поля, как уравнения Лагранжа-Эйлера вариационного принципа. Покажем следующее: если вариационный принцип инвариантен относительно преобразования координат, то эти уравнения всегда удовлетворяют необходимому количеству тождеств.
Рассмотрим вариационный принцип в виде:
Ы = Ь J SR (ул, yAtf,...) d? = 0, (16.26)
v
где индексы А, В,... служат для нумерации переменных поля у. Если варьировать уА так, чтобы вариации и их производные вплоть до нужного порядка исчезали на границе области V, то вариация интеграла (16.26) примет вид
W = JjSftil^dS1 (16.27)
и уравнения
9ЇА = 0 (16.28)
будут уравнениями Эйлера-Лагранжа вариационного принципа (16.26). Будем изменять переменные уд на величины, соответствующие бесконечно малым преобразованиям координат
