Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Разложим компоненты тензора кривизны, символы Кристоффеля и ковариантные и контравариантные компоненты метрического тензора в степенные ряды по с-' и приравняем коэфициенты разложения по индексам, написанным под каждым символом, причем нижний индекс п
будет относиться к коэфициенту при с~га. Например, G44
о
будет означать ту часть O44, которая умножается на с0; Л„— ту часть hrs, которая умножается на с-®, и так
Используя выражения для метрического тензора (15.1), найдем, что разложения в ряды компонент О начинаются со следующих степеней с~*: Oii— с0, Oil и Grs— с~*. В дальнейшем нам понадобятся только первые неисчезаю-щие члены разложения каждой компоненты, т. е. Gii, Gify
о і
Ort, и, кроме того, величина Or. Чтобы получить их зна-1 2
чения, вычислим g^, gt", символы Кристоффеля первого и второго рода и Rfl, с точностью до членов с с-2.
Первое приближение и закон сохранения массы. В первом приближении используем следующие значения компонент:
С их помощью образуем символы Кристоффеля первого рода:
далее.
(15.8).
[44, = [4r, 4] = 4 {«,г.
i*r> 'J = 4 (Ї4/, г - U, t) + j KlJu, 4.
[«. 4] = j (yir., + |4Л г) — 7 Ц*4, 4. [™> t} = { (Ц44, , + Ц44, Г — Цї44, Л
(15.9)
/ и символы Кристоффеля второго рода:
m
W/ {*}¦
I'1
: 4 ][44> 4'
Г)
rV
і
4" ^44, г'
J tyr, t Ї4 г)"* J 4»
"2 (|4r, J + )is, г) 4" KsJu, 4>
г)-
Для компонент метрического тензора получаем выражения
^1 =
( M ,
+{?), -IR-{vir
— 2" |44, 41+Y * |4J, /) , і '
?»-{?). +R .-{г}=-тЧ*
R =J?44—f«= +{{44,«.
W а уравнения поля в первом приближении запишутся в виде:
Gis= "2 \*І> *s + 7 * t=
G= 0.
(15.12)
В качестве решения первого уравнения можно выбрать выражение
лг к
Jli=-Z
1 *=1 г
где
Г = {[gl -У (&<)]» + [?• —jr« (S4)]* +
(15.13)
Это решение соответствует случаю N точечных масс. Все полюса высших порядков мы из рассмотрения исключили. Масса ft-й точечной массы, согласно (12.34), равна:
^=Ai- (15.14)
Возможно предположить, что эта масса может еще зависеть от временной координаты S41 но вскоре будет показано, что в действительности массы постоянны. 3N функ-к
ций у' от S4 определяют положения N точечных масс в каждый момент времени S4.
Докажем теперь с помощью трех уравнений G4s, что
параметры ]х (а поэтому и массы М) постоянны. Это до- казательство проводится с помощью метода, последующий этап приближения которого способствует нам в выводе (классических) уравнений движения. Прежде всего докажем следующую лемму: если выражение, зависящее от нескольких индексов, антисимметрично по отношению к двум из них, скажем S и t, то его обыкновенная дивергенция по одному из этих индексов, скажем по эквивалентна ротору, компоненты которого характеризуются вторым (не немым) антисимметричным индексом (в нашем случае«). При этом, как обычно, предполагается, что sat пробегают значения от 1 до 3. Доказательство проводится путем непосредственного составления интересующих нас величин. Пусть Atk...st антисимметрично в s и t. Обозначим
Aik..Л2 = — ^4...21 4ePe3 5S' AlІ...23 = —V-.32 4ePe3 5I И Aft-Sl = - Atk...I8 через Bi.
Выражения Ati...Utt тогда равны следующим:
Л«-«,/ = —?M=(f0tB)i« <15Л5>
аналогичные соотношения справедливы и для других двух дивергенций.
Вернемся к уравнениям G4j. Они содержат величину
(y4j і — Yo J t< являющуюся дивергенцией антисиммет-* 2 ' 2 ' '
ричного выражения. Эта дивергенция эквивалентна ротору, компоненты которого нумеруются индексом S. По теореме Стокса интеграл ротора по замкнутой поверхности равен нулю. Другими словами,
— A <"cos(s' ")^=0, <15Л6> здесь cos (s, а) означает косинус угла между координатой Б» и нормалью к элементу поверхности dS. Применим (15.16) к замкнутой поверхности, окружающей р-ю особенность, но выбранную так, чтобы на самой поверхности не было особенностей. На поверхности (но не внутри ее) должны удовлетворяться уравнения поля, поэтому имеем
О = ^ Gis cos (s, п) dS =
S
=— 7 <f Y44, и cos (s, п) dS =
S
(15.17).
Это уравнение выражает собой то условие, что параметры Ji остаются постоянными, ибо интеграл (grad ф • dS) представляет собой просто „число силовых линий", исхо-
к
дящих из области S, и поэтому пропорционален р. Уравнение (15.17) соответствует условию
k dv
^ = 0, k=\...N.
(15.18)
Последнее, что можно сделать в первом приближении, это решить дифференциальные уравнения G4j относитель-"О Yisy
Tl Pls TNj, Й-Ф, 4І>
(15.19)
к
где Ji теперь рассматриваются как постоянные. Уравнения (15.6) и (15.7) показывают, что эти уравнения удовлетво- ряются выражениями:
N h * 2 A=I г
(15.20)
¦(точкой обозначено дифференцирование по S4), что доказывается просто подстановкой в (15.19).
Для получения уравнений движения необходимо перейти ко второму приближению.
Второе приближение и уравнения движения. Во
втором приближении необходимо использовать следующие контравариантные компоненты метрического тензора:
