Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Исключим из уравнений (20,2) один из двух спиноров, подставив из второго уравнения в первое:
= 4" V = mla.
Но, согласно (18,4), pappvp = р26“, так что получаем
(р2-/л2)Г = 0, (20,3)
откуда видно, что т — масса частицы.
Обратим внимание на то, что необходимость введения массы в волновое уравнение требует одновременного рассмотрения двух спиноров и тц): с помощью лишь одного из них нельзя составить релятивистски инвариантное уравнение, которое содержало бы какой-либо размерный параметр. Тем самым волновое уравнение автоматически оказывается инвариантным относительно пространственной инверсии, если определить преобразование волновой функции как
Р: (20,4)
Легко видеть, что при такой замене (и одновременной замене р“Р—>• рар, очевидной из формул (20,1)), два уравнения (20,2) переходят друг в друга. Два спинора, переходящих друг в друга при инверсии, составляют четырехкомпонентную величину—биспинор.
Релятивистское волновое уравнение, изображаемое системой
(20,2), называется уравнением Дирака (оно было установлено Дираком в 1928 г.). Для дальнейшего исследования и применения этого уравнения рассмотрим различные формы, в которых оно может быть представлено.
$ 20] УРАВНЕНИЕ ДИРАКА В СПИНОРНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 99
С помощью формулы (18,6) переписываем уравнения (20,2) в виде
(Р„ + Р<т) = (р„ —ра) 1 = тц. (20,5)
Здесь символы I и г| обозначают двухкомпонентные величины —
спиноры
Е=(!*). Ч = (п|) <20-6>
(первый—с верхними, а второй—с нижними индексами), а при умножении матриц ст на любую двухкомпонентную величину / здесь и ниже всегда подразумевавши умножение по обычному матричному правилу
(<?/)« = (20-7)
Запись / в виде вертикального столбца отвечает тому, что
каждая строка в а перемножается со столбцом /.
Для удобства дальнейших ссылок выпишем здесь еще раз матрицы Паули
"*=(? о)' “о)' "' = (5 -?) (20'8)
и напомним их основные свойства:
ai°k + ah°i= 2S(ft, <т,стА = гешст, + 6.й (20,9)
(см. Ill, § 55).
Напишем также волновое уравнение, которому удовлетворяет комплексно-со фяженная волновая функция, составленная из спиноров
?f = (?1*> I1*), Tl* = ('4i, 'Hi)- (20,10)
Поскольку все операторы рц содержат множитель i, то рЦ = — Рц. При взятии комплексно-сопряженного от обеих сторон уравнений (20,5) надо также учесть, что в силу эрмитовости матриц о (о* = от)
(of)a = = (/*<*)сс.
и мы получаем уравнения в виде
•П*(Л> + Р<*) = — ml*, I* (p0-pa) = -mri*. (20,11)
В этой форме записи условно подразумевается, что операторы р11 Действуют на функцию, стоящую слева от них. Запись и г|* в виде горизонтальных строк соответствует матричному умноже-нию в этих уравнениях: строка / перемножается со столбцами в матрицах а:
(Ы. = П°*- (20,12)
100 ФЕРМИОНЫ [Гл. III
Преобразование инверсии для ?*, т]* определяется как комплексносопряженное от преобразования (20,4):
Р: ?«• —(20,13)
§21. Симметричная форма уравнения Дирака
Спинорная форма записи уравнения Дирака является наиболее естественной в том смысле, что она непосредственно выявляет его релятивистскую инвариантность. Однако в применениях могут оказаться более удобными другие представления волнового уравнения, получающиеся путем другого выбора четырех независимых компонент волновой функции.
Будем обозначать четырехкомпонентную волновую функцию символом ip (с компонентами яр,-, i= 1, 2, 3, 4). В спинорном представлении это есть биспинор:
(21,1)
Но с равным правом можно выбрать в качестве независимых компонент яр любые линейно независимые комбинации компонент спиноров % и г|1). Условимся при этом ограничивать допустимые линейные преобразования лишь требованием унитарности; такие преобразования не меняют составленные из яр и ор* билинейные формы (§ 28).
В общем случае произвольного выбора компонент тр уравнение Дирака можно представить в виде
/>и?йк'Ф* = я*'Ф
где у11 ([i = 0, 1, 2,3) — некоторые четырехрядные матрицы (матрицы Дирака). Мы будем обычно записывать это уравнение в символической форме, опуская матричные индексы:
{ур—т)яр = 0, (21,2)
где
УР — VIlPn= РоУ°—PV = + lYV» У —(У1’ V2. Т3)-
Так, спинорной форме уравнения с компонентами гр из (21,1) соответствуют матрицы2)
_____________ *•=(!?). <21-3>
х) Мы будем для краткости говорить о четырехкомпонентной величине -ф как о биспиноре также и в неспинорных ее представлениях.
2) Здесь и в дальнейшем мы пользуемся краткой записью четырехрядных матриц через двухрядные: каждый символ в выражениях (21,3) представляет собой двухрядною матрицу.
S 21] СИММЕТРИЧНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ДИРАКА Ю1
как это легко видеть, записав уравнения (20,5) в виде
Од. рг)ана)
и сравнив с (21,2).
В общем случае матрицы у должны удовлетворять лишь условиям, обеспечивающим равенство р2=т\ Для выяснения этих условий умножим уравнение (21,2) слева на у р. Имеем
(T'Vn) (Т>v) Ф = т (рцт11) ф =
Поскольку p^pv—симметричный тензор (все операторы рй коммутативны), можно переписать это равенство в виде
j PuPv (y'V + YVY“) У = откуда видно, что должно быть
TV+TV = 2^v. (21,4)
Таким образом, все пары различных матриц у11 антикоммутатив* ны, а квадраты каждой из них:
