Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Берестецкий В.Б. -> "Квантовая электродинамика" -> 42

Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — Физматлит, 2001. — 708 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 247 >> Следующая

Условимся рассматривать искомую волновую функцию (биспинор) в стандартном представлении: По отношению
к вращениям ф и % ведут себя как трехмерные спиноры. Поэтому их угловая зависимость дается теми же шаровыми спинорами &/!т. Пусть <р cvd Я/7)В, где I—одно (определенное) из двух значений: j-f-V2 или }—V2. При инверсии <p(f)—> t<p (—г) (см. (21,18)), и поскольку О/аЛ— n) = (— \)l?lJlm(n), то
Составляющие же % ведут себя при инверсии согласно %(г)—>
— i% (—г). Для того чтобы состояние обладало определенной
(24,2)
(24,3)
(24,4)
Они нормированы условием
(24,5)
о
Ф(г)-> i (— 1)* ф(г).
114 ФЕРМИОНЫ [Гл. III
четностью (т. е. чтобы при инверсии все компоненты умножались на один и тот же множитель), необходимо, следовательно, чтобы угловая зависимость % давалась шаровым спинором Qji'm с другим (из двух возможных) значением /: поскольку эти значения отличаются на 1, то (—1)/г = — (—1)'.
Далее, радиальная зависимость ф и % будет определяться теми же функциями Rpl и Rpt' (со значениями I и отвечающими порядку входящих в QJlm шаровых функций). Это ясно из того, что каждая из компонент ф удовлетворяет уравнению второго порядка (р2—т2)ф = 0, которое при заданном значении |р | имеет вид
(А+р2)ф = 0,
формально совпадающий с нерелятивистским уравнением Шредин-гера для свободной частицы.
Таким образом,
y = ARplQJlm, % = BRpityi'm, (24,6)
и остается определить постоянные коэффициенты А и В. Для этого рассмотрим удаленную область, в которой сферическую волну можно рассматривать как плоскую. Согласно асимптотической формуле III (33,12)
Rpi-^V ^ ^ (24,7)
так что ф представляет собой разность двух плоских волн, распространяющихся в направлениях ±n(n = r/r). Для каждой из них имеем, согласно (23,8),
Х = ^(± по)Ф.
Из сказанного выше (формулы (24,6)) ясно, что (па) Q/lm = aQ/7,m, где а — постоянная. Эту постоянную легко определить, сравнив значения обеих сторон равенства при т = 1/2 и направлении п вдоль оси г. Использовав (7,2а), найдем
Оna)Q,jlm = il'-lQjVm. (24,8)
Собрав написанные формулы и сравнив с (24,6), получим
? =------ А.
ъ-\-т
Наконец, коэффициент А определяется общей нормировкой ф. Нормируя ф условием
J 'Pp;imb’j’i’m'd3x = 2л6//,61,,6тт.6 (р—р'), (24,9)
СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
115
найдем окончательно
lb 1 ( +/Гг РA I' =2i — l (24 101
Таким образом, при заданных значениях j и т (и энергии е) существует два состояния, различающихся своей четностью. Последняя однозначно определяется числом I, принимающим значения /±1/2: при инверсии биспинор (24,10) умножается на i(—1)г. Компоненты этого биспинора, однако, содержат шаровые функции обоих порядков I и Г, в чем выражается отсутствие определенного значения орбитального момента.
При г -+оо в каждом небольшом участке пространства сферические волны (24,7) можно рассматривать как плоские с импульсом р = ±/т. Поэтому ясно, что волновые функции в импульсном представлении отличаются от (24,10) в основном лишь отсутствием радиальных множителей и приданием п смысла направления импульса.
Для прямого перехода к импульсному представлению надо произвести разложение Фурье:
'Ф(р') = ^ гИг)е_гр’rd3x. (24,11)
Интеграл вычисляется с помощью формулы разложения плоской волны по сферическим:
<"¦" = 7 ? ? (‘‘К„ (Г) П„ ( ? ) y,„(f ) . (24,12)
Представив множитель е~‘Р'г в (24,11) в виде такого разложения и учитывая (24,5), для компонент Фурье функции
получим
ф (р') = М 6 (р'-р) i-‘Ytn. (?-) j QJlm (-f ) Y'lm, (-f) do.
Стоящий здесь интеграл равен коэффициентам при шаровых функциях в определении шаровых спиноров (24,2), а вместе с множителем Yш, (р’/р’) снова образует тот же шаровой спинор, но уже от аргумента р'/р':
Применив этот результат к биспинорной волновой функции
(24,10), получим ее импульсное представление
, . , (2л)а f yre + mi-‘QJim(p'/p') \
116
ФЕРМИОНЫ
[Гл. III
Состояния | pjtm> совпадают с рассмотренными в § 16 состояниями | pjm |А,| > (где [ Я | = 1/а): те и другие обладают определенными значениями pjm и четности. Поэтому шаровые спиноры QJlm определенным образом связаны с функциями (те и другие— от аргумента р//?). При р—>¦ 0 волновые функции (24,13) сводятся к трехмерным спинорам Q/tm, четность которых Р = т}(—1)г (где ->1 = (' — «внутренняя четность» спинора). Сравнение с результатами § 16 приводит к следующей формуле:
Qnm-il Y'h)D%2m±^'h)D[<\m) (24,14)
(при / = / + 1/2)» гДе — трехмерные спиноры (23,14).
§ 25. Связь спина со статистикой
Вторичное квантование поля частиц со спином V2 (спинорное поле) производится таким же образом, как это было сделано в § 11 для скалярного поля.
Не повторяя заново всех рассуждений, напишем сразу выражения для операторов поля, вполне аналогичные формулам (11,2):
Ф = Ц -77— (aPoUpae~+ 6+аи-р-аесРх),
^ _ (25>1) Мр ==$+ (а*аирае{рх + Ь^и-р-ае-1**);
ра У
суммирование производится по всем значениям импульса р и по a = ±Va- Операторы уничтожения античастиц Вра (как и операторы уничтожения частиц ара) стоят в виде коэффициентов при функциях, которые по своей координатной зависимости (е‘рг) соответствуют состоянию с импульсом р1).
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed