Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
(V1)2 — (V2)2 = (V3)2 = — 1 > (V°)2 = l- (21,5)
При произвольном унитарном преобразовании компонент ф (-ф' = t/ijj, где U — унитарная четырехрядная матрица) матрицы у преобразуются согласно
у' ==UyU~l = UyU+ (21,6)
(так что уравнение (ур—т)г|з = 0 переходит в (у'р—m)ty' =0). Перестановочные соотношения (21,4) при этом, разумеется, остаются неизменными.
Матрица v° из (21,3) эрмитова, а матрицы у антиэрмитовы. Эти свойства сохраняются и при всяком унитарном преобразовании (21,6), так что мы будем всегда иметь1):
Y+=-Y, Y0+ = Y°- (21,7)
Напишем также уравнение для комплексно-сопряженной функции о])*. Взяв комплексно-сопряженное от уравнения (21,2) и учитывая при этом свойства (21,7), получим
(— Ро7°—PY—tn)ty* =0.
1) Эти равенства можно записать вместе в виде
^+=YeV^V°- (21.7а)
102 ФЕРМИОНЫ [Гл. III
Переставляем а]з* согласно -уМ,'Ф*=“Ф*Y** и умножаем затем все уравнение справа на 7°; замечая, что уу° —— ¦у°'у, и вводя новый биспинор
г|) = г|)*'у0, о]з* = 11)7°, (21,8)
получим
^(¦yp-f т) = 0. (21,9)
Как и в (20,11), оператор р предполагается здесь действующим на функцию, стоящую слева от него. Функцию г|) называют дира-ковски-сопряженной (или релятивистски-сопряженной) функцииij). Смысл множителя 7° в ее определении заключается в том, что (в спинорном представлении) он переставляет спиноры и т]* так, что в г|> = (т1*, ?*) первым оказывается (как и в г|>) непунктирный, а вторым—пунктирный спинор; именно по этой причине г|) является более естественным (чем г);*) «партнером» г|), когда, например, они фигурируют совместно в различных билинейных комбинациях (см. § 28).
Преобразование инверсии для волновой функции можно представить в виде
Р: г|)—г|)—>— гфу0. (21,10)
При спинорном представлении г|> матрица y° переставляет, как и должно быть при инверсии, компоненты | и т). Инвариантность уравнения Дирака относительно преобразования (21,10) в общем случае очевидна и непосредственна: заменив в уравнении (21,2) р—>— р и одновременно г|)—>1'у0г|), получим
(PoV° + PV — m)v°i|> = 0.
Умножив это уравнение слева на у0 и учитывая антикоммутативность 7° и у, вернемся к исходному уравнению.
Умножив уравнение (ур— т)г|; = 0 слева на о]), а уравнение ij) (ур + т) = 0 справа на г|> и сложив их, получим
(РиФ)Т|Ч = Ри ОРтЧНо,
где скобки указывают, на какую функцию распространяется действие оператора р. Полученное равенство имеет вид уравнения непрерывности ^/^==0, так что величина
j** = гр-у,А,Ф = (,Ф*'Ф, ‘ф*‘у°'У',15) (21,11)
представляет собой 4-вектор плотности тока частиц. Отметим, что его временная компонента /° = г|)*1|) положительно определенна.
СИММЕТРИЧНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
103
Уравнение Дирака можно представить в форме, разрешенной относительно производной по времени:
= (21,12)
где Н—гамильтониан частицыJ). Для этого достаточно умножить уравнение (21,2) слева на уй. Для гамильтониана получается выражение
Я = сср + рт, (21,13)
где введено общепринятое обозначение для фигурирующих здесь матриц:
a = Y°Y> Р = 7°- (21,14)
Отметим, что
alak-\-akal = 28lk, ра + сф = 0, Р3=1, (21,15)
т. е. все матрицы а, (} антикоммутируют друг с другом, а их
квадраты равны 1; все они эрмитовы. В спинорном представ-
лении
«-(о -")• И? J)- (2Ы6)
В предельном случае малых скоростей частица должна описываться, как и в нерелятивистской теории, всего одним двухкомпонентным спинором. Действительно, перейдя в уравнениях (20,5) к пределу р—*-0, е—>-т, получим ? = ti, т. е. оба спинора, составляющие биспинор, совпадают друг с другом. Здесь, однако, проявляется недостаток спинорной формы записи уравнения Дирака: при предельном переходе остаются отличными от нуля все четыре компоненты я|), хотя в действительности лишь две из них независимы. Более удобно такое представление волновой функции я);, при котором в пределе две из ее компонент обращаются в нуль.
Соответственно этому введем вместо g и 14 их линейные комбинации ф и %:
^ = (x)’ <P=yf(? + Tl)> Х = у=-(?-л)- (21,17)
Тогда для покоящейся частицы % = 0. Это представление г|) будем называть стандартным. При инверсии ф и % преобразуются сами через себя согласно
________________Р- ф-*Й>, %-*¦—*Х- (21,18)
1) Для частицы со спином 0 волновое уравнение не могло быть представлено в таком виде- уравнение (10,5) для скаляра г|э—второго порядка по времени, а система (10,4) уравнений первого порядка для пятикомпонентной величины (г|э, \|)ц) содержит производные по времени не от всех компонент.
104
ФЕРМИОНЫ
[Гл. Ш
Уравнения для ср и % получим, складывая и вычитая уравнения (20,5):
р0ф—рах = тср, — р0х + рстф=тх. (21,19)
Отсюда видно, что стандартному представлению отвечают матрицы
v°-p=(o _?)¦ :)• “=(“ »)•
Поскольку в (21,17) складываются отдельно первые и вторые компоненты | и г], то в стандартном представлении, как и в спи-норном, компоненты и г|)3 отвечают собственным значениям проекции спина +72> а и г|)4—проекции —V2- В обоих этих представлениях, следовательно, матр-ица 1/2S, где
°). (21.2D
представляет собой трехмерный оператор спина: при действии ,/22г на биспинор, содержащий лишь компоненты или ip2,
