Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
((р, а)—краткое обозначение, которое мы будем применять для перечисления компонент такого тензора). При этом aw — (—р, а), а из двух величин
а2—р2 = у а^а^, ар = -^ а1>а
первая является скаляром, а вторая псевдоскаляром; по отношению к собственной группе Лоренца тот и другой одинаково инвариантны. Вместе с ними инвариантны также и квадраты трехмерных векторов f± = p±ia. Эго значит, что всякий поворот в 4-пространстве для векторов эквивалентен «повороту» в трехмерном пространстве, вообще говоря, на комплексные углы (шести углам поворота в 4-пространстве соответствуют три комплексных «угла поворота» трехмерной системы). Операция же пространственной инверсии, меняя знак р (но не а), переводит векторы f+ и —f- друг в друга. Компоненты этих векторов и составляют искомые две группы величин, образованных из компонент тензора а^.
Тем самым становится очевидным также и соответствие между компонентами 4-тензора o|lv и спиноров ?а|3, т]^. Поскольку в группу Лоренца входят в качестве подгруппы пространственные вращения, то соотношения между компонентами спинора и компонентами трехмерного вектора должны быть такими же, как для трехмерных спиноров:
f,+ =4(S22-?u), ti = Ul2i + lu)> ft = ZXi;
] t (19,16)
= — (Па i + Hii).
Задача
Установить общее соответствие между спинорами четного ранга и 4-тензорами.
Решение. Все спиноры с четными k-\-l реализуют однозначные неприводимые представления расширенной группы Лоренца и поэтому эквивалентны 4-тензорам, реализующим такие же представления х).
¦“¦) Спиноры же нечетного ранга осуществляют двузначные представления группы: пространственный поворот на 360° меняет знак спиноров, так что каждому элементу группы отвечают две матрицы противоположного знака.
f 20] УРАВНЕНИЕ ДИРАКА В СПИНОРНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 97
Спинор ранга (k, k) преобразуется при инверсии согласно
... уб ...
О)
Такой спинор эквивалентен симметричному неприводимому 4-тензору ранга k—истинному или псевдотензору в зависимости от знака в (1).
Спиноры рангов (k, I) и (/, к), составляющие биспинор, прербразуются при инверсии согласно
При l — k-\- 2 биспинор эквивалентен неприводимому 4-тензору ро ранга ? + 2, антисимметричному по индексам [рт] и симметричному по всем остальным индексам. Неприводимость этого тензора означает, чго он дает нуль при упрощении по любой паре индексов и дает нуль при образовании дуального по любым трем индексам (т. е. ра ,=0); последнее условие озна-
чает что тензор дает нуль при взятии циклической суммы по трем индексам—jiv и одному (любому) из остальных.
При l = k-\-4 биспинор эквивалентен неприводимому 4-тензору [VP] ах...
ранга й + 4 со следующими свойствами: он антисимметричен по парам индексов [Хц] и [vo], симметричен по всем остальным, симметричен по отношению к перестановке пары [Ajt] с парой [vp], дает нуль при упрощении по любой паре индексов и дает нуль при образовании дуального по любой тройке индексов.
Вообще, при l = k-l-2n биспинор эквивалентен неприводимому 4-тензору ранга 6 + 2п, антисимметричному по п парам индексов и симметричному по остальным к индексам. 4-тензоры, антисимметричные по большему числу (тройкам, четверкам и т. д.) индексов, в этой классификации не появляются по очевидной причине: антисимметричный тензор 3-го ранга эквивалентен (дуален) псевдо вектор у, а антисимметричный тензор 4-го ранга сводится к скаляру (пропорционален единичному псевдотензору e*,*J,vP); антисимметрия же по еще большему числу индексов в 4-пространстве вообще невозможна.
§ 20. Уравнение Дирака в спинорном представлении
Частица со спином 1/2 описывается в своей системе покоя двухкомпонентной волновой функцией — трехмерным спинором. По своему «четырехмерному происхождению» это может быть как непунктирный, так и пунктирный 4-спинор. В описании частицы в произвольной системе отсчета участвуют оба таких 4-спинора; мы обозначим их посредством и г^1).
Для свободной частицы единственным оператором, входящим в волновое уравнение, может быть (как уже указывалось в § 10) лишь оператор 4-импульса pli, = idi*. В спинорных обозначениях
*) Трехмерный спинор 1-го ранга может «происходить» также от 4-спино-ров более высоких нечетных рангов, которые в системе покоя становятся антисимметричными по одной или нескольким парам индексов. Такие варианты, однако, привели бы к уравнениям более высоких порядков (ср. примечание На стр. 54).
k
k-i
k
98 ФЕРМИОНЫ [Гл. III
этому 4-вектору соответствует операторный спинор ра^, причем Р11 =P»i =Р* + Р«. Р%'ъ = Р11 = Рь—Р,>
P1* = — Pti = Px — iPy> Р'1 = —Рг»=Рх+1Ру С20’1)
Волновое уравнение представляет собой линейную дифференциальную связь между компонентами спиноров, осуществляемую с помощью оператора раТребование релятивистской инвариантности фиксирует следующую систему уравнений:
=тЪа, РраГ = т^, (20,2)
где т—размерная постоянная. Вводить в эти два уравнения различные постоянные т1 и т2 (или же изменить знак перед т) было бы бессмысленно, так как надлежащим переопределением ga или г)^‘ уравнения все равно мо1ли бы быть приведены к прежнему виду.
