Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
(ns) wa> (n) = (n). (16,1)
J) Содержание этого параграфа относится к частицам с любым (целым или полу целым) спином.
а) В английской литературе—helicity.
СПИРАЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ
79
В спинорном представлении — контравариантный симметричный спинор ранга 2s; согласно формулам соответствия III (57,2) его компоненты можно перечислять также по отвечающим им значениям проекции спина а на фиксированную ось z1).
В импульсном представлении волновые функции рассматриваемых состояний совпадают в основном с амплитудами ыа> (р). Именно:
¦fox (к) = иЛ) (к) 6(2> (v - п) = ыа> (р) 6‘2> (v — п), (16,2)
где импульс как независимая переменная обозначен через к, в отличие от его собственного значения р, a v = к/| к |, в отличие от п = р/|р|2). В нерелятивистском пределе
¦фпя, (v) =way (v) 6(2) (v —п) — wa) (n) 6(2) (v —n). (16,3)
Более подробно это выражение надо было бы написать в виде ¦фпяК ст) =W<a> (v) 6(2) (V — n),
где явно указана также и дискретная независимая переменная о.
Оператор спиральности sn коммутативен с операторами /г и j2. Действительно, оператор момента связан с бесконечно малым поворотом системы координат, а скалярное произведение двух векторов инвариантно по отношению к любому повороту. Поэтому существуют стационарные состояния, в которых частица обладает одновременно определенными значениями величины момента /, его проекции jz = m и спиральности X. Мы будем называть такие состояния сферическими спиральными состояниями.
Определим волновые функции этих состояний в импульсном представлении. Это можно сделать непосредственно по аналогии с полученными в III, § 103 формулами для волновых функций симметричного волчка. Они были получены там на основами формул для преобразования волновых функций при конечных вращениях (III, § 58). Последние, в свою очередь, основаны
*) Приведенные рассуждения (как и перечисление возможных значений X относятся к частицам с отличной от нуля массой. Для частиц с нулевой массой системы покоя не существует, а спиральность может иметь лишь два значения Х = ± s. Последнее связано с упомянутым уже в § 8 обстоятельством: состояния такой частицы классифицируются по их поведению по отношению к группе аксиальной симметрии, допускающей только двукратное вырождение Уровней (с точки зрения свойств волнового уравнения это означает, что при переходе к пределу т —> 0 система уравнений для частицы со спином s распадается на независимые уравнения, отвечающие безмассовым частицам со спинами s, s—1, ...). Так, для фотона Я,= ±1, а роль соответствующих Играют трехмерные векторы (8,2).
*) fi-функция 8<2> определена так, что ^ 8(2>(v—n)cfov=l. В (16,2) (и в
•Яайэгичном случае ниже, (16,4)) опущена б-функция, обеспечивающая заданное авачение энергии.
80
БОЗОНЫ
[Гл. II
только на свойствах симметрии по отношению к вращениям; поэтому они применимы к функциям в импульсном представлении в той же мере, как и к координатным функциям.
Наряду с фиксированной в пространстве системой координат xyz (по отношению к которой записываются функции ty,mb), введем также «подвижную» систему ?г]? с осью ? вдоль направления V. Не повторяя заново соответствующих рассуждений (ср. вывод формулы III (103,8)), напишем
fym*(k) = t|$?D$,(v),
где Цзд’ —волновая функция в «подвижной» системе координат, описывающая состояние частицы с определенным значением ^-проекции момента; /g = X; в импульсном представлении эта функция совпадает, очевидно, с амплитудой Нормированная (см. ниже) волновая функция
V(k)= /^-^(v)a<x,(k). (16,4)
Здесь возникает, однако, вопрос о выборе фаз, связанный со следующей неоднозначностью. Поворот системы координат относительно xyz определяется тремя углами Эйлера а, р, 7; направление же v, от которого только и может зависеть волновая функция частицы, зависит лишь от двух сферических углов а = Ф, р = 0. Поэтому надо условиться о каком-либо определенном выборе угла у. Мы будем полагать 7 = 0, т. е. определим D()!m (v) как
Dl& (v) = D& (ф, 9, 0) = eim4Z (9). (16,5)
В силу III (58,21) функции (16,5) удовлетворяют условиям ортогональности и нормировки:
Г do 1
j Dx'm, (vJDl'/m, (V) ^ _jjj- (16,6)
(dov = sin0d0?ftp). Ортогональность же функций ijпо индексу Я обеспечивается множителем ы(Я). Таким образом, функции ортогональны, как и должно быть, по всем индексам jmX, а при выбранном в (16,4) коэффициенте они нормированы условием
S |Ф/тл|*Ж\= 1- . (16>7)
При этом предполагается, что амплитуды ыа> нормированы на единицу: иа)иа>* — 1.
Рассмотрим поведение волновых функций спиральных состояний по отношению к инверсии координат. Произведение полярного вектора v на аксиальный вектор j — псевдоскаляр. Поэтому заранее ясно, что в результате инверсии состояние со спираль-
191
СПИРАЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ
81
ностью к переходит в состояние с — X; надо лишь определить фазовые множители в этих преобразованиях.
При инверсии V——v. Вектор v определяется двумя углами Ф, 0, и преобразование v ——v осуществляется заменой ф—*-ф + л, 0—*-я — 0. Тем самым фиксируется ось ?, но остается неопределенным положение осей | и t], зависящее также и от третьего угла Эйлера у; преобразование одних только 0 и ф не дает возможности различать в этом смысле отражение системы координат от поворота оси ?. В терминах всех трех углов Эйлера инверсия есть преобразование
