Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
(16,24)
ГЛАВА III ФЕРМИОНЫ
§17, Четырехмерные спиноры
В нерелятивистской теории частица с произвольным спином s описывается (2s + ^-компонентной величиной — симметричным спинором ранга 2s. С математической точки зрения это—величины, реализующие неприводимые представления группы пространственных вращений.
В релятивистской теории эта группа выступает лишь как подгруппа более широкой группы четырехмерных вращений — группы Лоренца. В связи с этим возникает необходимость в построении теории четырехмерных спиноров (4-спиноров)—величин, осуществляющих неприводимые представления группы Лоренца; ее изложению посвящены §§ 17—19. При этом в §§ 17, 18 рассматривается лишь собственная группа Лоренца, не содержащая пространственной инверсии; последняя будет рассмотрена в§ 19.
Теория 4-спиноров строится аналогично теории трехмерных спиноров (В. L. van der Waerden, 1929; G. E. Uhlenbeck, 0. Laporte, 1931).
Спинор есть двухкомпонентная величина (oc=l, 2); как компоненты волновой функции частицы со спином J/2?l и ?2 отвечают собственным значениям г-проекции спина, равным соответственно +72 и —72. При всяком преобразовании (собственной) группы Лоренца две величины I1, |а преобразуются друг через Друга:
^'=041 +К*,
Г=т|1 + 6|2. ки’1)
Коэффициенты а, р, у, 6— определенные функции углов поворота 4-системы координат, подчиненные условию
об—Pv=l, (17,2)
т. е. определитель бинарного преобразования (17,1) равен 1, как н определители преобразований координат в группе Лоренца.
В силу условия (17,2) билинейная форма ^З2—?аЕ1 (где ?а и S«—два спинора) инвариантна относительно преобразования
(17,1) (она отвечает частице со спином 0, «составленной» из двух Частиц со спином 72). Для естественной записи таких инвариантных выражений, наряду с «контравариантными» компонентами
86
ФЕРМИОНЫ
|Гл. III
спинора 5“ вводятся также и «ковариантные» компоненты ?а. Переход от одних к другим совершается с помощью «метрического спинора» gap1):
E« = g.j?p. (17,3)
где
** = (_! J). (17-4)
так что
1г=12, Ъ = (17,5)
Тогда инвариант Е-ЧЗ2—записывается в виде скалярного произведения ?aSa. При эгом ?“Ha =— ?aS“.
До сих пор перечисленные свойства формально совпадают со свойствами трехмерных спиноров. Разница, однако, возникает при рассмотрении комплексно-сопряженных спиноров,
В нерелятивисгской теории сумма
-f- т))2^2*, (17,6)
определяющая плотность вероятности локализации частиц в пространстве, должна была быть скаляром, а для этого компоненты ijj®* должны были преобразовываться как ковариангные компоненты спинора; другими словами, преобразование (17,1) должно было быть унитарным (ос = 8*, |3 = — у*). В релятивистской же теории плотность часгиц не является скаляром; она представляет собой временную компоненту 4-вектора. В связи с эгим указанное требование отпадает и на коэффициенты преобразования не накладывается теперь никаких дополнительных (помимо
(17,2)) условий. Четыре комплексные величины а, |3, у, 6 при одном лишь условии (17,2) эквивалентны 8—2 = 6 вещественным параметрам—в соответствии с числом углов, определяющих вращение 4-системы координат (повороты в шести координатных плоскостях).
Таким образом, комплексно-сопряженные бинарные преобразования оказываются существенно различными, так что в релятивистской теории существует два типа спиноров. Чтобы различить эти типы, приняты специальные обозначения: индексы спиноров, преобразующихся по формулам, комплексно-сопряженным формулам (17,1), записываются в виде цифр с точками над ними (пунктирные индексы). Таким образом, по определению,
3f~5“\ (17,7)
где знак ~ означает «преобразуется как». Другими словами, формулы преобразования «пунктирного» спинора:
г]1' = а’т]1 + P*V, rj2' = у*!"]1 -f- б*г)*. (17,8)
*) Спинорные индексы мы будем обозначать первыми буквами греческого алфавита: а, (5, у, ...
ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ СПИНОРЫ
87
Операции опускания и поднимания пунктирных индексов производятся так же, как и для непунктирных индексов:
По отношению к пространственным вращениям поведение 4-спиноров совпадает с поведением 3-спиноров. У последних, как мы знаем, ~ i|>“. В силу определения (17,7) 4-спинор ведет себя, следовательно, при вращениях, как контравариантный
3-спинор ч|>“. Как компоненты волновой функции частицы со спином 1/2, собственным значениям проекции спина 1/2 и —Va соответствуют поэтому ковариантные компоненты ит|-, Спиноры высших рангов определяются как совокупности величин, преобразующихся как произведения компонент нескольких спиноров первого ранга. При этом среди индексов спинора высшего ранга могут быть как пунктирные, так и непунктирные. Например, существует три типа спиноров второго ранга:
В этом смысле указание одного лишь полного ранга спинора недостаточно для однозначного определения этого понятия; мы будем поэтому при необходимости указывать ранг в виде пары чисел (k, I) — числа непунктирных и числа пунктирных индексов.
Поскольку преобразования (17,1) и (17,8) алгебраически независимы, то нет необходимости фиксировать последовательность пунктирных и непунктирных индексов (в этом смысле, например, спиноры и —одно и то же).
