Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
a' = a-a°6V, a°' = a°-a6V. (18,11)
Воспользуемся теперь формулами (18,7). Преобразование а0 можно представить, с одной стороны, как
а0' = а0 — абV = а0—-у Sp (?а6V), а с другой стороны, как
а'»' = | Sp Г = а0 +1SP (^ + ^+) = а° + i Sp ? (Я + Я+).
Оба выражения должны совпадать тождественно (т. е. при произвольном ?). Отсюда находим следующее равенство:
Я + = — a6V.
Таким же способом, рассмотрев преобразование а, получим
аЯ + Я+а = — 6V.
Эти равенства как уравнения для Я имеют следующее решение:
Л = Л+ = _±а6у.
1) Для ковариантных компонент:
Ei = (fl-1E)e = (Efl-1)a. т? =(т,В*-1)? (18,8а)
(так, чтобы произведение двух спиноров Е“ оставалось инвариантным).
СВЯЗЬ СПИНОРОВ О 4-ВЕКТОРАМИ
91
Таким образом, бесконечно малое преобразование Лоренца спинора осуществляется матрицей
fi=l—g-(on)6K, (18,12)
где п—единичный вектор в направлении скорости 6V. Отсюда легко найти преобразование и для конечной скорости V. Для этого вспомним, что преобразование Лоренца означает (геометрически) поворот 4-системы координат в плоскости t, п на угол ф, связанный со скоростью V равенством Шф = К1). Бесконечно малому преобразованию соответствует угол 6ф = 6К, а поворот на конечный угол ф осуществляется ф/бф-кратным повторением поворота на бф. Возводя оператор (18,12) в степень ф/бф и переходя к пределу бф —>0, получим
Ф
В= е~~п°. (18,13)
Математический смысл действия этого оператора выясняется, если заметить, что по свойствам матриц Паули все четные степени от по равны 1, а все нечетные степени равны по. Учитывая, что ch разлагается по четным, a sh — по нечетным степеням аргумента, получим окончательно
B = ch-j—no shy, th ф = К. (18,14)
Отметим, что матрицы В преобразований Лоренца оказываются эрмитовыми: В = В+.
Рассмотрим теперь бесконечно малый поворот пространственной системы координат. При этом трехмерный вектор а преобразуется согласно
а' = а —[60 а], (18,15)
где 60 —вектор бесконечно малого угла поворота. Соответствующее преобразование спинора можно было бы найти аналогичным
образом. В этом, однако, нет необходимости, так как по отношению к пространственным поворотам поведение 4-спиноров совпадает с поведением 3-спиноров, а для последних преобразование известно заранее из общей связи оператора спина с оператором бесконечно малого поворота:
Я=1+-1абе. (18,16)
*) Напомним, что в плоскостях, содержащих ось времени, метрика псев-До евклидова.
92
ФЕРМИОНЫ
1Гл. III
Переход к повороту на конечный угол 0 производится аналогично переходу от (18,12) к (18,14):
5 = ехр no) = cos та sin у , (18,17)
где п —орт оси вращения. Эта матрица унитарна (Б+ — Б-1), как и должно быть для пространственного поворота.
§ 19. Инверсия спиноров
При изложении (в III) трехмерной теории спиноров мы не рассматривали их поведения по отношению к операции пространственной инверсии, поскольку в нерелятивистской теории это не привело бы к каким-либо новым физическим результатам. Мы остановимся, однако, теперь на этом вопросе для лучшего уяснения последующего рассмотрения инверсионных свойств 4-спиноров.
Операция инверсии не меняет знака аксиального вектора, каковым является вектор спина. Поэтому не меняется и значение его проекции sz. Отсюда следует, что при инверсии каждая из компонент спинора я|з“ может преобразовываться только через саму себя, т. е. должно быть
¦ф* -+ Рф*, (19.1)
где Р — постоянный коэффициент. Произведя инверсию дважды, мы вернемся к исходной системе координат. В случае спиноров, однако, возвращение к начальному положению можно понимать в двух различных смыслах: как поворот системы на 0° или на 360°. Для спиноров эти два определения не эквивалентны, так как я|за меняют знак при повороте на 360°. Таким образом, возможны две альтернативные концепции инверсии: в одном случае
р?=1, Р = ±1, (19,2)
а в другом
Р? = — 1, P = ±i. (19,3)
Существенно при этом, что понятие инверсии должно быть
определено одинаковым образом для всех спиноров. Недопустимо, чтобы различные спиноры вели себя при инверсии различным образом (согласно (19,2) или (19,3)), так как тогда не из всяких двух спиноров можно было бы построить скаляр (или псевдоскаляр): если бы спинор я|з“ преобразовывался согласно (19,2), а ф“ —согласно (19,3), то величина я|зафа умножилась бы при инверсии на ± i вместо того, чтобы оставаться неизменной
(или менять только знак).
Следует также подчеркнуть, что (при любом определении инверсии) приписывание спинору той или иной определенной четности Р не имеет абсолютного смысла, поскольку спиноры меняют знак
ИНВЕРСИЯ СПИНОРОВ
93
при повороте на 2л, который всегда можно произвести одновременно с инверсией. Абсолютный характер, однако, имеет «относительная четность» двух спиноров, определяемая как четность Составленного из них скаляра поскольку при повороте
на 2л меняют знак одновременно все спиноры, ю связанная с этим неопределенность не отражается на четности указанного скаляра.
Обратимся теперь к четырехмерным спинорам.
Отметим прежде всего, что поскольку инверсия меняет знак лишь трех (х, у, г) из четырех (t, х, у, г) координат, она коммутативна с пространственными вращениями, но не коммутативна с преобразованиями, поворачивающими ось t. Если L есть преобразование Лоренца к системе отсчета, движущейся со скоростью V, то Pl=l'P, где L' — преобразование к системе, движущейся со скоростью — V.
