Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда следует, что при инверсии компоненты 4-спинора не могут преобразовываться через самих себя. Если бы инверсия спинора заключалась по-прежнему в преобразовании (19,1) (т. е. изображалась бы матрицей, пропорциональной единичной матрице), то она коммутировала бы со всеми вообще преобразованиями Лоренца, чего заведомо не должно быть (так как one* рации L и L' в применении к заведомо не совпадают).
Таким образом, инверсия должна преобразовывать компоненты спинора через другие величины. Таковыми могут быть лишь компоненты некоторого другого спинора ri“, не совпадающего по своим трансформационным свойствам с ?®. Поскольку инверсия не меняет (как уже отмечалось выше) г-проекции спина, то компоненты I1 и ?2 могут перейти при инверсии лишь в компоненты rj- и т|?, отвечающие тем же значениям sz = 1/2 и
зг == — 72. Понимая под инверсией операцию, дающую 1 при двукратном повторении, можно определить ее действие формулами
?“-4*. (19,4)
(для ковариантных компонент |а и контравариантных г)“ эти преобразования имеют обратный знак:
—-Л*. —(19’4а)
так как опускание и поднимание одного и того же индекса происходит с различными знаками, см. (17,5) и (17,9))х). Если
1) Определение (19,4), конечно, в известном смысле условно, что связано с независимостью величин Е“ и гь . Так, введя вместо ть новый спинор ri' =
(6 'а а 'а
“е получим вместо (19,4) эквивалентное определение:
>в"",)'-. Л-
9 'а а
94 ФЕРМИОНЫ [Гл. III
же инверсия понимается в таком смысле, что Р$ ——1, то ее действие определяется формулами
(19,5)
или, что то же,
?«-> — irf, r\a-+ — ila. (19,5а)
Некоторое отличие в характере двух определений инверсии состоит в том, что при втором определении комплексно-сопря-женные спиноры преобразуются одинаковым образом: если Sa = > Н“ = ?“*, то из (19,5) будем иметь Еа—>- — Ш“,
Н“ —>- — t'Sa, т. е. такое же правило, как и для ?а, т)“. При определении же (19,4) мы получили бы преобразование Ва—>Н“, Н“—>-Sa, обратное по знаку преобразованию спиноров 1а, г]“. К возможным физическим аспектам этого различия мы вернемся в § 27.
Ниже мы будем для определенности везде подразумевать определение (19,5).
По отношению к подгруппе вращений спиноры и т)^ преобразуются, как мы знаем, одинаково. Образовав из их компонент комбинации
аа±^. 09,6)
мы получили бы величины, преобразующиеся при инверсии согласно (19,1) с P~±i. Эти комбинации, однако, не ведут себя как спиноры по отношению ко всем преобразованиям группы Лоренца.
Таким образом, включение инверсии в группу симметрии требует одновременного рассмотрения пары спиноров (1а, т^); такую пару называют биспинором (1-го ранга). Четыре компоненты биспинора реализуют одно из неприводимых представлений расширенной группы Лоренца.
Скалярное произведение двух биспиноров (|“, т^) и (Е“, Щ) может быть образовано двумя способами. Величина
|“Еа+т,-Н“ (19,7)
при инверсии вообще не меняется, т. е. является истинным скаляром. Величина
?“За-г]-Н“ (19,8)
тоже инвариантна по отношению к поворотам 4-системы координат, но меняет знак при инверсии; другими словами, она
является псевдоскаляром.
$ 19] ИНВЕРСИЯ СПИНОРОВ 95
Двумя способами может быть определен также и спинор второго ранга Определив его законом преобразования
+ (19>9)
мы получим величины, преобразующиеся при инверсии согласно
— Cip. (19,10)
При этом 4-вектор а*1, которому эквивалентен такой спинор, преобразуется (в соответствии с формулами (18,1)) согласно
(а0, а) —»- (а0,—а), т. е. является истинным 4-вектором (а трех-
мерный вектор а—полярным вектором).
Можно, однако, определить также и согласно
—BV* (19,11)
ТогдаJ)
е*—-SiP. 09,12)
Такому спинору соответствует 4-вектор, для которого инверсия означает преобразование (а0, а)—>(—а0, а), т. е. 4-псевдовектор (трехмерный же вектор а аксиален).
Симметричные спиноры 2-го ранга с индексами одинакового типа определяются законами преобразования:
+ (19,13)
При инверсии они переходят один в другой:
— (19,14)
Пара (?а|3, flip) образует биспинор 2-го ранга. Число его независимых компонент равно 3 + 3 = 6. Столько же независимых компонент имеет антисимметричный 4-тензор 2-го ранга ailv. Поэтому между тем и другим должно существовать определенное соответствие (оба реализуют эквивалентные неприводимые представления расширенной группы Лоренца).
Поскольку по отношению к собственной группе Лоренца спиноры и г\^ преобразуются независимо, то и из компонент 4-тензора aM,v могут быть составлены две группы величин, преобразующихся только друг через друга при всех поворотах
4-системы координат. Это разбиение осуществляется следующим образом.
*) Подчеркнем, что законы преобразований (19,10) и (19,12), отличающиеся знаком в правой стороне, отнюдь не эквивалентны, поскольку в обеих их сторонах стоят компоненты одного и того же спинора (ср. примечание на стр. 93).
96
ФЕРМИОНЫ
[Гл. III
Введем трехмерный полярный вектор р и трехмерный аксиальный вектор а, связанные с компонентами 4-тензора a,iv со-
гласно
0 Рх Ру Р.
— Рх 0 — аг ai
-Ру а* 0 й:
~Рг -ау а* 0
?* = {-„ а 0 —а. =(Р> а) (19,15)
