Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Берестецкий В.Б. -> "Квантовая электродинамика" -> 39

Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — Физматлит, 2001. — 708 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 247 >> Следующая

¦ф4, биспинор умножается на +1/2 или —72. В произвольном представлении эта матрица может быть записана в виде
S = — «у5 = — j [оса] (21,22)
(определение см. ниже, (22,14)).
Задачи
1. Найти формулы преобразования волновой функции при бесконечно малом преобразовании Лоренца и бесконечно малом пространственном повороте.
Решение. В спинорном представлении ^ при бесконечно малом преобразовании Лоренца
= g-oev)g, T,' = (l + i-a6v)r]
(см. (18,8), (18.8а), (18,10)). Обе формулы можно записать вместе в виде
= — yafiv) О)
Аналогичным образом закон преобразования при бесконечно малом повороте:
y^i + jzee)*. <2)
В таком виде формулы справедливы в любом представлении ф, если понимать
лод « и 2 матрицы в том же представлении.
Легко проверить, что матрицы « и 2 составляют компоненты антисимметричного «матричного 4-тензора»
uv 1 (..и ..V
АЛГЕБРА МАТРИЦ ДИРАКА
105
(перечисление компонент дано по правилу (19,15)). Введем также бесконечна малый антисимметричный тензор 6e^v = (6V, 60). Тогда
atlvae(j,v = 2<S60—2a6V
и обе формулы (1—2) можно записать в едином виде:
^' = (1+ТЛ^' (3)
2. Написать уравнение Дирака в таком представлении, чтобы оно не содержало мнимых коэффициентов (Е. Majorana, 1937).
Решение. В стандартном представлении в уравнении
мнимыми являются лишь матрицы <ху и ф. Эту мнимость можно устранить, произведя такое преобразование = (Уф, в результате которого мнимая Матрица ау переставится с вещественной матрицей (5. Для этого надо положить
"=FF(a*+P)=""1-
Тогда
ct'x—UaxU = — ах, a^, = p, az= — <хг, P'=a^, и уравнение Дирака приобретает вид
( д д , о д д , . \ п
V di~ а* дх+ ^Ty~Uz dz+ imav)^ = °> в котором все коэффициенты вещественны.
§ 22. Алгебра матриц Дирака
При вычислениях, связанных с уравнением Дирака, приходится широко пользоваться матрицами у, не прибегая к их конкретному виду в том или ином определенном представлении. Правила оперирования с этими матрицами всецело определяются перестановочными соотношениями
Y|1YV + YvYtl — 2gtlv (ц, v=.0, 1, 2, 3), (22,1)
выражающими все их общие свойства.
В этом параграфе мы приведем ряд формул и правил алгебры матриц 7, полезных в различных вычислениях.
«Скалярное произведение» матриц у самих на себя: gVvYtJ'Yv=4-Для краткой записи введем, по аналогии с ковариантными компонентами 4-векторов, обозначение y(j,=gtiVYv- Тогда
= (22,2)
Если же матрицы и -у11 разделены одним или несколькими множителями у, то одной или несколькими перестановками множителей (с помощью правила (22,1)) можно привести y,j, и Vй к со-
106 ФЕРМИОНЫ [Гл. III
седним положениям, после чего суммирование (по ц) совершается согласно (22,2). Таким способом получаются следующие формулы:
VnVV = —2yv.
YnY VT = 4gXv,
YnYVY^ = — 2ypyvy\ Y^Y?'YVTPY°YIJ'= 2 (y°Y?'YvYp + YpYvY^Yff)-
ЧЛл>Рл# = _2vPvvaA (22,3)
Обычно множители у*1, • • • фигурируют в комбинации с различными 4-векторами в виде «скалярных произведений»1)
YflssY'V (22,4)
Для таких произведений формулы (22,1) принимают вид (ау) фу) + фу) (ау) = 2 (ab),
(ау)(ау)=а\
а формулы (22,3):
(ay) Y*1 = —2 (ау),
yil(ay)(by)yli = i(ab), уц(ау)фу)(су)у* = —2(су)фу)(ау),
Yu (aY) (ЬУ) (су) (dy) у11 = 2 [(с/у) (ау) фу) (су) + (су) (by) (ay) (dy)].
Широко используемой операцией является взятие следа от произведения некоторого числа матриц у. Рассмотрим величины
T’HiHa Цп = -i- Sp (y^iy^s . . . y|in). (22,7)
В силу известного свойства следа произведения матриц этот тензор симметричен по отношению к циклическим перестановкам ИНДеКСОВ [AjIAa ... iv
Так как матрицы у имеют одинаковый вид в произвольной системе отсчета, то и величины Т также не зависят от выбора системы. Поэтому они образуют тензор, выражающийся только через обладающий этим свойством метрический тензор g^.
Но из тензора второго ранга gy.4 можно составить лишь тензоры четного ранга. Уже отсюда сразу следует, что след от произведения любого нечетного числа множителей у равен нулю. В частности, равен нулю след каждой из у2):
Spv^ = 0. (22,8)
J) В этом издании книги мы не пользуемся каким-либо специальным обозначением для такого произведения. В литературе часто используются обозначения буквами со шляпкой или перечеркнутыми буквами.
2) След матрицы инвариантен относительно преобразований у= Uyl!-1. Поэтому (22,8) очевидно и из конкретных выражений матриц'(21,3).
§ 22] АЛГЕБРА МАТРИЦ ДИРАКА 107
След единичной четырехрядной матрицы (которая подразумевается стоящей в правой стороне перестановочного соотношения (22,1)) равен 4. Поэтому из (22,1), взяв след от обеих сторон равенства, находим
Tuv^guv (22,9)
След произведения четырех матриц
jxtivр = gt-ngvр _ g>-VgW g^g^. (22,10)
Эту формулу можно получить, например, «протаскивая» в Sp y^yVyP множитель ух направо с помощью перестановочного соотношения (22,1); после каждой перестановки возникает один из фигурирующих в (22,10) членов:
j'Uivp __ 2g?-M-j’vp ую-vp _ 2g'/llgvP 7’il?-vP
и т. д. После всех перестановок справа остается —— которое переносим налево. Этим же способом вычисление следа произведения шести у сводится к следам произведений четырех множителей и т. д. Так,
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed