Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
сс==ф—*-ф + п, (3 = 0—> я— 0, 7—*-я — -у. (16,8)
Поэтому, если определено согласно (16,5) (т. е. с у = 0),
а замена V—— v подразумевается как результат инверсии, то
D^(—v) = Di%(ф + л, л —0, я). (16,9)
С помощью формул III (58,9), (58,16), (58,18) находим поэтому
Я& (— v) = е'ЧВД (я - G) =
= (-1 y~xeimWhm (0) = (-1)'-^(Лт(ф, 0, 0),
или
0&(-v) = (- l)-%m(v) (16,10)
(/ — X — целое число).
Аналогичную формулу для спинора wa) можно получить, заметив, что его компоненты w^ совпадают, с точностью до множителя, с функциями
o^(v)~D$(v)*. (16,11)
Действительно, применив формулу преобразования III (58,7) к собственным функциям спина и положив, что его ^-проекция имеет определенное значение К (т. е. заменив в правой стороне III (58,7) ip/m, на бт,,_), мы найдем, что D(^ (v) — спиновые волновые функции, отвечающие определенным значениям его г- и ^-проекций (ст и К). Совокупность этих функций (а =— s, ..., -fs) составляет (по формулам соответствия III (57,6)) ковариантный спинор ранга 2s. Компоненты же контравариантного спинора (которым по формулам III (57,2) отвечают компоненты wtf') преобразуются как комплексно-сопряженные от компонент ковариантного спинора того же ранга.
Из (16,10—11) имеем
wa) (—v) = (—l)s_xtw(_X) (v) (16,12)
(s — Я—целое число). Операция инверсия в применении к w(l) состоит однако не только в замене v—*¦ — v, но и в умножении ва общий фазовый множитель («внутренняя четность» частицы),
82 БОЗОНЫ [Гл. II
который мы обозначим через rj:
Pwa) (v) = т]до(Я') (— v) = rj (—(v). (16,13)
Для релятивистской же амплитуды и{%) (к) это преобразование запишется в виде
Ри(Ху (к) = т]|Зи<Я) (— к) = rj (—1)S_XU(_X) (к), (16,14)
где |J — некоторая матрица, единичная по отношению к компонентам иа\ остающимся в пределе |р|—>-0. Важно, что эта
матрица не зависит от квантовых чисел состояния, и в этом смысле разница между (16,13) и (16,14) несущественна1).
Применив (16,14) к (16,2), получим закон преобразования волновых функций состояний | пА>:
Ptynt. (v) = r\ (—1)*-Н,-п-л (v). (16,15)
Для сферических спиральных состояний, воспользовавшись
(16,10) и (16,12), получим закон преобразования:
HimX (v) = 11 (— 1)/_S (v). (16,16)
Состояния г|5ут0 преобразуются, согласно (16,16), сами через себя, т. е. обладают определенной четностью. Если же ХфО, то определенной четностью обладают лишь суперпозиции состояний с противоположными спиральностями:
Ф/ml Л I = YY ®/пА =Ь 4>/т-х) - (16,17)
При инверсии они преобразуются сами через себя согласно
к | (V) = ± Т] (— 1У~s г|^\ х I (V). (16,18)
Обратим внимание на то, что мы произвели в этом параграфе классификацию состояний свободной частицы с заданным моментом, оперируя только с сохраняющимися величинами и не прибегая к понятию орбитального момента (использованного, например, в §§ 6, 7 для классификации состояний фотона).
В качестве примера рассмотрим случай спина 1. В системе покоя амплитуды и(Х> (4-векторы) сводятся к трехмерным векторам еа\ которые и играют здесь роль амплитуд wa\ Действие оператора спина 1 на векторную функцию е дается формулой
&е)* = — iemei (16,19)
х) Так, для s=l амплитуды «<*•>—4-векторы (16,22); при этом [3—полностью единичная матрица по 4-векторным индексам: {Vv = Snv Для s = 1/a (как мы увидим в следующей главе) «а>—биспинор; при этом фазовый множитель т] = t, а Р—матрица Дирака у0 (см. (21,10)).
$ 16] СПИРАЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ 83
(III, § 57, задача 2). Поэтому уравнение (16,1) принимает вид
i [пеа>] = Яе(Х). (16,20)
Его решения (в системе координат |г|? с осью ? вдоль п) совпадают с циркулярными ортами (7,14)1):
е(0> = i (0, 0, 1), е(±1) = =F -р=- (1, ± I, 0). (16,21)
В системе отсчета, где частица имеет импульс р, амплитуды спиральных состояний—4-векторы
= JL. е«»^, Ы(± 1) и = (о, »>). (16,22)
Если е—полярный вектор, то i] = — 1. Тогда функции (16,17) (при s = 1 —трехмерные векюры) имеют следующие четности:
Р = (-1)',
Р = (-1)'+1, ty-o : Р = (— 1)у-
Сравнив с определением шаровых векторов (7,4), мы видим, что эти функции тождественны (с точностью до фазовых множителей) соответственно с Y}^, Y$J, Определив фазовые множители (скажем, путем сравнения значений при 0 = 0), получим следующие равенства:
Y^=*7-1 ]/rV+I(e™D& + *-» D%n),
Y $ = t'"11/l^(e«>'D$ + e‘-»'D''lm). (16,23)
(j—целое число!); ea>/= [ne<X)]—циркулярные орты в осях |'т|'?, повернутых относительно ?г]? на 90° вокруг оси ?.
Последняя из формул (16,23) эквивалентна выражению III
(58,23) для (0). Из первой же (или второй) формулы можно
1) Выбор фазовых множителей фиксируется требованием, чтобы вычисленные с помощью собственных функций (16,21) матричные элементы опера-
*0ров спина отвечали общим определениям в III, §§ 27, 107.
84 БОЗОНЫ 1Гл. II
получить простое выражение для функций d±lm. Имеем
Скалярное произведение в правой стороне равенства раскрываем в системе причем
( д_ д_\ f д_ 1 д \
V ’ дг\) \ 50 ’ sin 0 5ф ]
Вспомнив определение (7,2) функции У и определение (16,5), получим в результате
^)im(0) = (-l)- + 1 Y 0+^”0Tl)( ± ^ + РТ (C0S 6)> т>°-
