Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
(вторая формула получается из первой изменением знака перед т и переобозначением > (па)а/). Здесь п—орт вектора р, а w — произвольная двухкомпонентная величина, удовлетворяющая лишь условию нормировки
w*w= 1. (23,10)
Для и = и*у° (у0 из (21,20)) имеем
ир — (У е -f т w*, —]/е — т w* (na)), и„р=(\^г—may'* (no), —j/e-f mw'*),
и перемножением убеждаемся, что действительно и±ри±р = ±2т. В системе покоя, т. е. при е==т, имеем
up = VtoH(o), u.p = V 2^(ш°). (23,12)
т. е. w представляет собой тот трехмерный спинор, к которому сводятся в нерелятивистском пределе амплитуды каждой из волн. Отметим, что в биспиноре и_р обращаются в нуль в системе
покоя первые, а не вторые две компоненты. Это свойство реше-
ний уравнения Дирака с «отрицательными частотами» заранее очевидно: положив в (23,7) р = 0 и заменив е на —т, получим Ф — 0 х).
Амплитуда плоской волны содержит одну произвольную двухкомпонентную величину. Другими словами, при заданном импуль-
!) В спинорном же представлении имеем ? = — т) вместо соотношения ? = т], справедливого в системе покоя для решений с «положительными частотами».
(23,11)
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
111
се существует два различных независимых состояния в соответствии с двумя возможными значениями проекции спина. При этом, однако, проекция спина на произвольную ось z не может иметь определенного значения. Это видно из того, что гамильтониан частицы с определенным р (т. е. матрица Я = ар + §т) не коммутативен с матрицей 2г =— i^xa,y. В соответствии со сделанными в § 16 общими утверждениями, сохраняется, однако, спи-ральность к—проекция спина на направление р: гамильтониан коммутативен с матрицей пЕ.
Спиральным состояниям отвечают плоские волны, в которых трехмерный спинор ьу = ы)а)(п)—собственная функция оператора по:
j(ne)wM = kwM. (23,13)
Явный вид этих сг
/ е~^2 cos-i ?ц(*.= ‘/2) — (
У eW* sin 1
где 0 и ф — полярный угол и азимут направления п относительно фиксированных осей xyz1).
Другой возможный выбор двух независимых состояний свободной частицы с заданным р (более простой, хотя и менее наглядный) отвечает двум значениям г-проекции спина в системе покоя; обозначим ее через ст. Соответствующие спиноры:
ш(а=«/.> = (‘), (23,15)
В качестве же двух линейно независимых решений с «отрицательной частотой» мы выберем плоские волны, в которых трехмерные спиноры
ww = — ayw(-v = 2 0ШУ(а> (23,16)
(смысл такого выбора выяснится в § 26).
Можно найти такое представление плоской волны, в котором
в любой системе отсчета (а не только в системе покоя) она имеет
всего две компоненты, отвечающие определенным значениям той же физической характеристики — проекции спина в системе покоя (L. Foldy, S. A. Wouthuysen, 1950).
Отправляясь от амплитуды ир в стандартном представлении
(23,9), ищем унитарное преобразование к такому представлению
Г('<р/а sin
1) Решение уравнений (23,13) допускает умножение на произвольный фа-80ВЫЙ множитель, что связано с возможностью произвольного поворота вокруг Управления п.
112
ФЕРМИОНЫ
[Гл. III
в виде
u;~Uup, и = е*у«,
где W—вещественная величина; поскольку у+ =— V то при этом автоматически U+ — U~1. Разлагая в ряд и учитывая, что (Vn)2 = — 1, представим U в виде
U = cos W + vn sin W
(ср. переход от (18,13) к (18,14)). Из условия, чтобы в преобразованной амплитуде и'р вторые две компоненты обратились в нуль, найдем
tgU7=-i^L, а т + в’
так что
fl w + e+(yn)lPl
У 2s (e-J-m)
В новом представлении
u’p = V 2^(о)- (23,17)
Гамильтониан частицы в этом представлении принимает вид
Н’ = U (ар + (3m) f/-1 — ре (23,18)
(все матрицы (5, а, у стандартного представления). Этот гамильтониан коммутативен с матрицей
Z = -«V5 = (о о)*
представляющей собой в ноеом представлении оператор сохраняющейся величины—спина в системе покоя,
§ 24. Сферические волны
Волновые функции состояний свободной частицы (со спином1^) с определенными значениями j момента представляют собой спи-норные сферические волны. Определим их вид, для чего напомним предварительно аналогичные формулы нерелятивистской тёории.
Нерелятивистская волновая функция есть трехмерный спинор
*=(*) . Для состояния с определенными значениями энергии е
(а с нею и величины импульса р1)), орбитального момента /, полного момента / и его проекции т волновая функция имеет вид
= я,, (г) Q/fe (0, (Р)' (24>0
х) В этом параграфе р обозначает | р |.
S 24]
СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
113
Ее углойая часть Й/7я>—трехмерные спиноры, компоненты которых (для двух значений / = /±V2> возможных при данном I) даются формулами
(см. III, § 106, задача). Мы будем называть QJlm шаровыми спинорами. Они нормированы условием
Радиальные же функции Rpl представляют собой общий множитель в обеих компонентах спинора г|з и даются формулой III (33,10):
Возвращаясь к релятивистскому случаю, напомним прежде всего, что для движущейся частицы не существует раздельных законов сохранения спина и орбитального момента: операторы s и Г каждый в отдельности не коммутируют с гамильтонианом. По-прежнему, однако, сохраняется (для свободной частицы) четность состояния. Поэтому квантовое число I теряет смысл указания на определенное значение орбитального момента, но им определяется (см. ниже) четность состояния.
