Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Для вычисления гамильтониана спинорного поля нет необходимости в определении его тензора энергии-импульса (как мы это делали для скалярного поля), поскольку в этом случае существует гамильтониан частицы, с помощью которого может быть записано волновое уравнение (уравнение Дирака) (21,12). Средняя энергия частицы в состоянии с волновой функцией if есть интеграл
J ty*Htyd3x =1 J 'Ф* d3x = i J ifv0 d3x. (25,2)
Обратим внимание на то, что «плотность энергии» (подынтегральное выражение) не является здесь положительно определенной величиной.
г) Те и другие функции отвечают также одинаковым значениям а проекции спина в системе покоя; для функций гЬ-р-о это будет показано в § 26—см. (26,10).
СВЯЗЬ СПИНА СО СТАТИСТИКОЙ
117
Заменив в (25,2) функции ф и г|з на г^-операторы, учитывая взаимную ортогональность волновых функций с различными р или а, а также соотношение и±ра7°м±га = 2е для волновых амплитуд, получим гамильтониан поля в виде
Н = 2 е (вр^-^Ла)- (25.3)
р а
Отсюда видно, что в данном случае квантование должно производиться по Ферми:
{йро, йра\ + — 1, {Ьра, Ьра}+ = 1, (25,4)
а все другие пары операторов а, а+, 8, Ь+ антикоммутативны
(см. III, § 65). Действительно, гамильтониан (25,3) переписы-
вается тогда в виде
Н — 2 6 (йрдйра -f - ЬрдЬра 1),
ра
и собственные значения энергии (как всегда, за вычетом бесконечной аддитивной постоянной):
?=2e(Wpa + Wpa), (25,5)
pa
т. е. оказываются, как и следовало, положительно определенными. При квантовании же по Бозе мы получили бы из (25,3) бессмысленные не положительно определенные собственные значения
2e(Npa — Npa).
Аналогичное (25,5) выражение
Р = 2р(^ра + ЛГра) (25 5)
ра •
получается и для импульса системы —собственных значений оператора J aj)+p tyd3x.
Оператор 4-тока
= i(25,7)
И для оператора «заряда» поля получаем
0 = J \py°\pd'iX = 2 (%>o^pa Ч-ЬраЬра) = 2 (йрсгйро — ЬрдЬра 4* 1), (25,8)
ра ра
в его собственные значения
Q = 2 (Npa — Npo)’ (25,9)
...¦ pa '
118
ФЕРМИОН Ы
[Гл. III
Таким образом, мы снова приходим к представлению о частицах и античастицах, к которым относится все сказанное по их поводу в § 11.
Но в то время как частицы со спином 0 являются бозонами, частицы со спином */а оказываются фермионами. Если проследить за формальным происхождением этого различия, то мы увидим, что оно возникает в связи с разницей в характере выражений «плотности энергии» для скалярного и спинорного полей. В первом случае это выражение оказывается положительно определенным, в результате чего в гамильтониане (11,3) оба члена (а+а и bb+) входят со знаком плюс. Для обеспечения положительности собственных значений энергии замена Ъ8+ на Ъ+Ъ должна происходить при этом без изменения знака, т. е. по правилу коммутации Бозе. В случае же спинорного поля «плотность энергии» не является положительно определенной величиной, в результате чего в гамильтониане (25,3) член ЪЪ+ оказывается со знаком минус, и для получения положительных собственных значений замена bb+ на Ъ+8 должна сопровождаться изменением знака, т. е. происходить по правилу коммутации Ферми.
С другой стороны, вид плотности энергии непосредственно связан с трансформационными свойствами волновой функции и с требованиями релятивистской инвариантности. В этом смысле можно сказать, что и связь спина со статистикой, которой подчиняются частицы, тоже является прямым следствием этих требований.
Из того факта, что частицы со спином 1/2 являются фермионами, следует также общее утверждение: все частицы с полуце-лым спином являются фермионами, а частицы с целым спином— бозонами (в том числе доказанное в § 11 утверждение для частицы со спином О)1).
Это становится очевидным, если заметить, что частицу со спином s можно представить себе «составленной» из 2s частиц со спином 1/2. При полуцелом s число 2s нечетно, а при целом s— четно. Между тем «сложная» частица, содержащая в себе четное число фермионов, является бозоном, а содержащая нечетное число фермионов—является фермионом2).
1) Происхождение связи между спином частицы и статистикой, которой она подчиняется, было выяснено Паули (1940).
2) В этих рассуждениях подразумевается, что все частицы с одинаковым спином должны подчиняться одинаковой статистике (вне зависимости от способа их «составления»). Что это действительно так, видно из аналогичных рассуждений. Так, если бы существовали фермионы со спином 0, то из фер-миона со спином 0 и фермиона со спином 1/2 можно было бы составить частицу со спином 1/а, которая была бы бозоном—в противоречии с общим доказанным для спина 1У3 результатом.
ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ
119
Если система состоит из частиц разного рода, то для каждого рода частиц должны быть введены свои операторы рождения и уничтожения. При этом операторы, относящиеся к различным бозонам или же к бозонам и фермионам, коммутируют друг с другом. Что же касается операторов, относящихся к различным фермионам, то в пределах нерелятивистской теории их можно было считать либо коммутирующими, либо антикоммутирующими (III, § 65). В релятивистской же теории, допускающей взаимные превращения частиц, следует считать операторы рождения и уничтожения различных фермионов антикоммутирующими, так же как и операторы, относящиеся к различным состояниям одних и тех же фермионов.
