Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
+ + ^ г) = 0-
Заменим в последнем уравнении t— t и умножим его слева на —UT:
(^iUTy° il/j.yv'j ^ (—t, г) — mUT\\>(—t, г) = 0.
Мы хотим, чтобы функция UTty (—t, г) удовлетворяла тому же уравнению, что и г|) (t, г):
(iV°^ + i7v) UTty(—t, r'j—mUjtyi—t, r) = 0.
Сравнив оба уравнения, находим, что матрица Uт должна удовлетворять условиям
UT~y° = y°UT, UTy = — yUT. (26,12)
В спинорном и стандартном представлениях этим условиям удовлетворяет матрица1)
UT = iy3y1y°. (26.13)
Таким образом, действие оператора Т дается формулой
Тг|) (t, г) = i'Y371Y°\l3 (— t, г) = i'y3yHJ)* (— U г). (26,14)
В явном виде это преобразование для спинорного представления
Т: —1'Ц, — (26,15а)
или
Т: 1а-+Иа*, г)« — /г]!. (26,156)
В стандартном представлении
_______________ Уг=(о',_„")- <26'16>
1) Выбор фазового множителя в (26,13) связан с выбором в (26,5) соображениями, указанными ниже, в примечании на стр. 125.
$ 26] ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ ]23
Найдем результат воздействия на яр всех трех операций Р, Т и С. Для этого пишем последовательно:
г) = — tY/ip* (— t, г),
РТхр (t, г) = iy° (Тг|)) = y°y1y3i|3> (— t, —г),
СРТгр (t, г) = у2 (y'Yy3^*)-* = 'Va'V°V1'V','MJ (— —Г)>
ИЛИ
CPTty(t, г) = 1 (—t, — г). (26,17)
В спинорном представлении
СРТ: — Щ* (26,13)
(в чем легко убедиться и прямо из правил преобразований
(20.4), (26,7), (26.15))1).
Написанные выше выражения для матриц Uс и Uг предполагали спинорное или стандартное представление г|). Выясним, наконец, какие из свойств этих выражений сохраняются для произвольного представления ф.
Если г|) подвергается унитарному преобразованию:
aj/ = t/i|}, у' = UyU~1, ='ф'“‘у0' = \J)t/+ = tyU~1, (26,19)
то в новом представлении
(Сг|;)' = U (Сгр) = UUcq= UUL ($'[/) = UUc07p'.
Сравнив с определением матрицы U'c в новом представлении ((Cipy = U’c^')y находим
U’c-=UUCU. (26,20)
Преобразование (26,20) совпадает с преобразованием матриц у лишь для вещественных U. Поэтому и выражение (26,5) справедливо лишь в представлениях, получающихся из спинорного или стандартного вещественным преобразованием.
Матрица (26,5) унитарна, а транспонирование меняет ее знак:
UcUb= 1, ис = ~ис. (26,21)
Эти свойства инвариантны относительно преобразования (26,20), а следовательно, имеют место в любом представлении. Матрица
(26.5) также и эрмитова (Uc = Uc), но это свойство в общем случае нарушается преобразованием (26,20).
Все сказанное (в том числе (26,21)) относится и к свойствам Матрицы Uт.
х) Запись СРТ предполагает действие операторов в порядке справа налево. Общий знак в (26,17—18) зависит от этого порядка в виду некоммутативности i' с С и Я (в их действии на биспинор).
124
ФЕРМИОНЫ
(Гл. III
В аппарате вторичного квантования преобразования С, Р, Т для ^-операторов должны быть сформулированы как правила преобразований операторов рождения и уничтожения частиц. Эти правила можно установить (подобно тому, как это было сделано в § 13 для частиц со спином 0), исходя из требования, чтобы преобразованные ^-операторы могли быть представлены в виде
¦фг(Л r) = Ucy(t, г),
(t, г) = (t, — г), (26,22)
фГ(/, г) = г/ГгЙ— t, г).
Задача
Найти оператор зарядового сопряжения в представлении Майорана (см задачу 2 § 21).
Р е ш е н и е. Матрица U'c в представлении Майорана получается из матрицы Uс — — в стандартном представлении преобразованием (26,20) с
U = (ау+Р)/ У2 и равна U'c = &У (ау и р обозначают матрицы стандартного представления). Обозначая штрихом величины в представлении Майорана, имеем Сф' = Uс (i|)'*P')> и поскольку р'^а^, то
Сф' = ау (г|/ *ау) = а,уау^’ * = ф'*, т. е. зарядовое сопряжение эквивалентно комплексному сопряжению.
§ 27. Внутренняя симметрия частиц и античастиц
Волновая функция частицы со спином 72 в ее системе покоя сводится к одному трехмерному спинору (обозначим его через Ф“). С поведением этого спинора при инверсии связано понятие о внутренней четности частицы. Однако (как было уже указано в § 19), хотя два возможных закона преобразования трехмерных спиноров (Ф“ —> ±1'Ф0С) и не эквивалентны друг другу, но приписывание спинору определенной четности не имеет абсолютного смысла. Не имеет поэтому смысла говорить и о внутренней четности самой по себе частицы со спином 1/2. Можно, однако, говорить об относительной внутренней четности двух таких частиц.
Из двух (трехмерных) спиноров Фш и Ф<2> можно составить скаляр ф?>ф<2) Если это —истинный скаляр, то говорят, что описываемые данными спинорами частицы имеют одинаковую четность; если же это — псевдоскаляр, то говорят о противоположной внутренней четности частиц.
Покажем, что внутренние четности частицы и античастицы (со спином Vs) противоположны (В. Б. Берестецкий, 1948).
$ 27] ВНУТРЕННЯЯ СИММЕТРИЯ ЧАСТИЦ И АНТИЧАСТИЦ 125
Для этого заметим, что если к обеим сторонам Р-преобразо-вания (19,5) (в спинорном представлении)
Р: Ъ —Я* (27,1)
применить операцию С (26,7), то мы получим
где индексом с отмечены компоненты биспинора ip'7— зарядово-сопряженного биспинору 1)з= (^). Произведя комплексное сопряжение и переместив индексы, находим
