Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Задача
Найти лагранжиан спинорного поля.
Решение. Функция Лагранжа, отвечающая уравнению Дирака, дается вещественным скалярным выражением
? = тг —«М- (1)
Понимая под «обобщенными координатами» q компоненты г|) и г|), легко убедиться в том, что соответствующие уравнения Лагранжа (10,10) совпадают с уравнениями Дирака для г|) и г|). Общий знак лагранжиана (как и общий коэффициент в нем) в данном случае условен. Поскольку L содержит производные от г|)
и i|5 линейно, то действие S = J L dix все равно не может иметь ни минимума,
ни максимума. Условие 6S = 0 определяет в этом случае лишь стационарную точку, но не экстремум интеграла.
Лагранжиан спинорного поля получается заменой в (1) г|) на оператор г|). Применив к этому лагранжиану формулу (12,12), получим оператор тока (25,7).
§ 26. Зарядовое сопряжение и обращение спиноров по времени
Множители ifipc = up0e~iPx, стоящие в (25,1) при операторах ара, представляют собой волновые функции свободных частиц (будем говорить электронов) с импульсами р и поляризациями о:
Ф& = V-
Множители же г)^_/7_ст при операторах Ьра надо рассматривать как волновые функции позитронов с теми же р, о. При этом, однако, окажется, что электронные и позитронные функции выражены в различных биспинорных представлениях. Это ясно из того, что г|) и г)з различны по своим трансформационным свойствам, и их компоненты удовлетворяют различным системам Уравнений. Для устранения этого недостатка надо произвести ®®ределенное унитарное преобразование компонент ajLp_a — та-
120
ФЕРМИОНЫ
1Гл. III
кое, чтобы новая четырехкомпонентная функция удовлетворяла тому же уравнению, что и ^а1)- Именно такую функцию мы и будем называть волновой фунлцией позитрона (с импульсом р и поляризацией о). Обозначив матрицу требуемого унитарного преобразования через Uc, напишем
^ра = U сФ-р-о- С26-1)
Операция С, с помощью которой эта функция образуется из ф_р_<7, называется зарядовым сопряжением волновой функции (Н. A. Kramers, 1937). Эго понятие не ограничено, конечно, его применением к плоским волнам. Для всякой вообще функции ip существует «зарядово-сопряженная» функция
Cty(t, г) = Uc^(t, г), (26,2)
преобразующаяся, как я|), и удовлетворяющая тому же уравнению.
Свойства матрицы Uc следуют из этого определения. Если ф—решение уравнения Дирака (ур—m)i(3 = 0, то удовлетворяет уравнению
г|> (ур + т) = 0, или (ур-\-т) гр = 0-Умножив это уравнение слева на Uс\
Uc~yp^ + mUc^ = 0,
потребуем, чтобы функция U с\|) удовлетворяла тому же уравнению, что и
(ур~т) Uc^= 0.
Сравнив оба уравнения, находим следующее «соотношение коммутации» между Uc и матрицами уй2):
Ucy» = -y»Uc. (26,3)
Будем предполагать далее, что волновые функции заданы в спинорном или стандартном представлениях (к общему случаю произвольного представления мы вернемся лишь в конце этого параграфа). В этих представлениях
*j0}2 __ *«0)2 *—•
Г Г * Г Г » /по
(уО, 1» 3^* _ 1, уЪЬ __ у2^
х) Для частиц со спином 0 этот вопрос вообще не возникал, так как скалярные функции фиф* удовлетворяют одному и Тому же уравнений, и просто совпадает с
2) Отметим также следующее отсюда равенство
Urf-tVc-
(26,3а)
§ 26] ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ 121
Тогда условиям (26,3) удовлетворяет матрица Uc = r\cy2y° с произвольной постоянной т]с. Из требования С2 = 1 следует, что )т]с)2=1, так что матрица Uc определена с точностью до фазового множителя. В дальнейшем мы выберем т)с=1, так что
ис = у*ув = — а„. (26,5)
Заметив также, что t[> = i|5*y° = у°г|>* = можно записать дей-
ствие оператора С в следующем виде:
СЧ|> = = у2я|э*. (26,6)
В явном виде преобразование (26,6) для спинорного представления
С: ir]a*, т— (26,7a)
или, что то же,
С: |а—> — t'T)?, rja —s- — i?“*. (26,76)
Преобразование зарядового сопряжения для плоских волн легко произвести, воспользовавшись их явными выражениями (23,9) и матрицей Uc в стандартном представлении:
М0-.,-?)- <2ад>
Заметив, что
вуа* = — аоу, при определении wW согласно (23,16) получим
UcU-p-o— Upo, Uси_р-о = ирд, (26,9)
Таким образом,
c+_,_0 = v* (26>I0J
так что функции фигурирующие в ^-операторах (25,1)
вместе с операторами ёр(7, действительно отвечают состояниям частицы с импульсом р и поляризацией о. Мы видим также, что электронные и позитронные состояния описываются одними и теми же функциями:
ф(Э) — ф(п) _ |
¦ра ¦pa — 'Vpa-
Это вполне естественно, так как функции ippCr несут в себе сведения лишь об импульсе и поляризации частицы.
Аналогичным образом можно рассмотреть операцию обращения времени. Изменение знака времени должно сопровождаться комплексным сопряжением волновой функции. Для того чтобы получить в результате «обращенную по времени» волновую функ-
122 ФЕРМИОНЫ [Гл. III
цию (?Ч) в том же представлении, что и исходное г|з, надо еще произвести над компонентами \|>* (или л|з) некоторое унитарное преобразование. Таким образом, аналогично (26,2) представим действие оператора Т на г|з в виде
f^(t,r) = U^{—t,r), (26,11)
где UT—унитарная матрица.
Снова пишем уравнение Дирака, которому удовлетворяет л|э:
(<Y| + 'W —т)^(/, г) = О, и уравнение для г|з:
