Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Правило составления величин (28,1) очевидно: они составляются так, как если бы матрицы образовывали 4-вектор, у? было
г) При унитарном преобразовании г|> (изменении представления) имеем: ¦ф—s- t/ tJj, у—yUyU-1, г|)— и инвариантность билинейных форм при таких преобразованиях очевидна.
128
ФЕРМИОНЫ
[Гл. III
псевдоскаляром, а стоящие с обеих сторон фиф образовывали вместе скаляр1). Отсутствие билинейных форм, которые имели бы характер симметричного 4-тензора, очевидное из спинорного представления, ясно и из этого правила: поскольку симметричная комбинация матриц YM'Yv + 7vYM' = 2gliv> то такая форма свелась бы к скаляру.
Вторично-квантованные билинейные формы получаются заменой в (28,1) ф-функций на ф-операторы. Для большей общности будем считать, что два ф-оператора относятся к полям различных частиц; будем отличать их индексами а и Ь. Выясним, как преобразуются такие операторные формы при зарядовом сопряжении. Заметив, что2)
фс=6/сф, фс=?/?ф, (28,3)
имеем, используя (26,3) и (26,21):
ФаФь = $aU'cUC% = — ^aVcUc^b = ~ ФЛ, ФаТЧ? = Фа^сУ^сФь = “ ^сУ^С^Ь = ^ЛЧ<г
При перестановке операторов к исходному порядку (ф слева от ф) в силу правил коммутации Ферми (25,4) изменится знак произведения (и, кроме того, появятся члены, не зависящие от состояния поля, которые опускаем, как и при аналогичных выводах в § 13). Таким образом, получим
ФаФь=ФбФа, фа/фй = — ФбТ^Фа-
Преобразуя аналогичным образом также и остальные формы, найдем, что при зарядовом сопряжении3)
Sab^Sba, Pab^Pba,
С: (28,4)
/in . ъ» t^v t^v
*~iab ab * ba •
*) «Псевдоскалярность» уь сама соответствует этим правилам, поскольку
V6=2T^nvp yVvvYp-а) Для получения второго равенства из первого пишем
г|зс = \U*c (¦$ v0*)lV° = v°^cv0lf = — Y°^cV0lf = V0V0*^C115== Uity
(использованы (26,3), (26,21) и эрмитовость y0)-
3) Обратим внимание на то, что для билинейных форм, составленных из
ф-функций (а не ^-операторов), преобразования (28,4) имели бы обратный
знак, поскольку возвращение к исходному порядку множителей ф и ф не
сопровождалось бы изменением знака.
§ 28]
БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
12Э
Аналогичным образом выясняется поведение тех же форм при обращении времени. При этом надо помнить (см. § 13), что эта операция связана с изменением порядка расположения операторов, и поэтому, например,
Рассмотрев таким же образом остальные формы, получим
(р, а—трехмерные векторы, эквивалентные компонентам согласно (19,15)).
При пространственной же инверсии, в соответствии с тензорным характером величин1),
Наконец, совместное применение всех трех операций оставляет все §аЬ, РаЬ, Т%ь неизменными и меняет знак всех V%b, А^ь, что как раз соответствует смыслу этого преобразования как 4-инверсии: поскольку . 4-инверсия эквивалентна повороту 4-системы координат, то по отношению к ней нет разницы между истинными и псевдотензорами любого ранга.
Рассмотрим попарные произведения билинейных форм, составленных из четырех различных функций г|Л of4, ,фс, Мы получим различный результат в зависимости от того, какие пары этих функций перемножаются между собой. Оказывается, однако, возможным свести всякое такое произведение к произведениям билинейных форм с фиксированными парами множителей (W. Pauli, М. Fierz, 1936). Выведем соотношение, лежащее в основе такого приведения.
!) Во избежание недоразумений напомним, что преобразования Т и Р требуют также изменения аргументов функции; правые стороны (преобразованные формы в (28,6—7))—функции соответственно от
Подставив сюда
tyT = UTty, i|3r = — U т$,
(28,5)
получим
(Мб)7' = — tybVrUrtya = tybUrUrtya = % tya-
(28,6)
(Л°, А)аЬ —> (Л°, — А)Ьа, T&v = (p, а)аЬ —> (р, — &)Ьа
sab-+~sab, pab-+-Pab, (V\ VU — (К -V)e6, (Л°, А)аЬ —> ( А0, \)аЬ, 7^ = (р, ъ)аь (— Р> aU.
(28,7)
xT = {—t, г), Xp = (t, —г), если левые стороны—функции от х= (t, г).
130 ФЕРМИОНЫ [Гл. III
Рассмотрим совокупность четырехрядных матриц
1, у5, уд, /уцу5, (28,8)
(1 —единичная матрица). Перенумеровав эти 16 ( = 1+1+4+ + 4 + 6) матриц в какой-либо определенной последовательности, обозначим их посредством уА(А = 1, ..., 16), а те же матрицы с опущенными 4-тензорными индексами (ц, v) посредством уА. Они обладают следующими свойствами:
Sp у-4 = 0 (уАф\),
Г*?л=1. 4 Sp = ^28’9^
В силу последнего из этих свойств матрицы уА линейно независимы. Поскольку же их число равно числу (4-4) элементов четырехрядной матрицы, то матрицы уА составляют полную систему, по которой может бьпь разложена произвольная четырехрядная матрица Г:
Г = ?с^> cA = ±SpyAr, (28,10)
А
или в раскрытом виде с матричными индексами (t, k=l,2, 3, 4):
= 4~ '
А
Предположив, в частности, что матрица Г содержит всего один отличный от нуля элемент (Ггт), получим искомое соотношение («условие полноты»)
= . (28,11)
А
Умножив это равенство с обеих сторон на получим
Й^) ОФЧ'*) = ^ X (ГУа?) (ipy'V)- (28,12)
А
Это —одно из равенств указанного выше типа: оно сводит произведение двух скалярных билинейных форм к произведениям форм, составленных из других пар множителей1).
Другие равенства этого типа можно получить из (28,12), заменяя
