Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Р-. У\1 — Иса, lca^ir\l- (27,2)
Мы видим, что зарядово-сопряженные биспиноры преобразуются при инверсии по одинаковому закону.
Пусть гр*—-волновая функция частицы (электрона), а — волновая функция античастицы (позитрона). Последняя есть биспинор, зарядово-сопряженный некоторому «отрицательночастотному» решению уравнения Дирака. В системе покоя каждая из них сводится к некоторому трехмерному спинору:
?<э)а _ ==ф(э)а1 ?(п)а_ т]^п) = ф(п>а.
Согласно (27,1—2) эти спиноры преобразуются при инверсии по закону
Фа —*¦ (27,3)
одинаковому для Ф<э) и Ф(п). Произведение же ф(э)ф<п> меняет знак, что и доказывает сделанное утверждение.
Истинно нейтральной называют частицу, совпадающую со своей античастицей (§ 12). ijj-оператор поля таких частиц удовлетворяет условию
r) = ilpc{t, г).
Для частиц со спином 1/а это означает условия (в спинорном представлении)х)
|a = _i9,a + > Г^ = —tfa. (27,4)
Как и всякие соотношения, выражающие собой какие-либо физические свойства, эти условия инварианты относительно преобразования СРТ?). Легко проверить, что фактически они ин-
*) В представлении же Майорана истинная нейтральность означает просто эрмитовость оператора (см. задачу к § 26).
2) Точнее, преобразование СРТ должно быть определено в данном случае так, чтобы оставлять инвариантными соотношения тигы (27,4). Это достигнуто соответствующим выбором фазового множителя в определении матрицы Uт (см примечание на стр 122).
126
ФЕРМИОНЫ
[Гл. III
варианты не только по отношению к СРТ, но и по отношению к каждому из трех преобразований в отдельности.
Мы условились в § 19 определять инверсию спиноров как преобразование, для которого Рг = —1, и до сих пор следовали этому определению. Легко видеть, что полученный выше результат об огносительной четности частиц и античастиц не зависит, как и следовало, от способа определения инверсии.
Если инверсия определена условием Р2=1, то вместо (27,1) будет
Р- ?“—¦ V Л*—(27,5)
Зарядово-сопряженная же функция преобразуется при этом по закону
?са ____пс. пс. ___. _tea
отличающемуся от (27,5) знаком. Соответственно этому трехмерные спиноры Ф будут преобразовываться согласно
ф(э)а—>-ф(э)и ф(п) а—„—ф(п)а>
так что произведение ф(э)ф<п> будет по-прежнему псевдоскаляром.
Единственное возможное различие в физических следствиях обеих концепций инверсии состоит в том, что при определении
(27,5) условие истинной нейтральности поля не было бы инвариантным относительно этого преобразования (или преобразования СР)\ оно меняло бы относительный знак обеих сторон равенств (27,4). Фактически истинно-нейтральные частицы со спином V, неизвестны, и в настоящее время нельзя сказать, имеет ли указанное различие в двух определениях инверсии реальный физический смыслх).
Задача
Найти зарядовую четность позитрония (водородоподобная система из электрона и позитрона).
Решение. Волновая функция двух фермионов должна быть антисимметрична относительно одновременной перестановки координат спинов и зарядовых переменных частиц (ср. задачу к § 13). Перестановка первых умножает функцию на (—1)г, вторых на (—1)! + 5 (где S — О или 1—полный спин системы), третьих — на искомое С. Из условия (—1)г(—1)1 + SC =—1 находим
С = (— l)< + s.
Поскольку внутренние четности электрона и позитрона противоположны, то пространственная четность системы Р = (— 1)г+1. Комбинированная четность: СР = (— l)s+1.
!) Неполная эквивалентность двух определений инверсии была отмечена Рака (G. Racah, 1937).
БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
127
§ 28. Билинейные формы
Рассмотрим трансформационные свойства различных билинейных форм, которые можно составить из компонент функций i|> и г|;*. Такие формы вообще имеют большое значение в квантовой механике; к их числу относится и 4-вектор плотности тока (21,11).
Поскольку г|з и гр* имеют по 4 компоненты, то из них можно составить 4-4 = 16 независимых билинейных комбинаций. Классификация этих величин по их трансформационным свойствам заранее очевидна из перечисленных в § 19 способов перемножения двух произвольных биспиноров (которыми в данном случае являются г|з и г|;*). Именно, можно составить скаляр (обозначим его S), псевдоскаляр (Р), смешанный спинор 2-го ранга, эквивалентный истинному 4-вектору (4 независимых величины), смешанный спинор 2-го ранга, эквивалентный 4-псевдовектору Л** (4 величины), и биспинор 2-го ранга, эквивалентный антисимметричному 4-тензору 7niv (6 величин).
В симметричном виде (для любого представления г|з) эти комбинации записываются следующим образом:
S = г|л|з, Р =
Vм" = Ч,ТМ'Ч), Лм' = 'ф7м'75'1|;, 1г|заМлЧ|з, (28,1)
где
^v = |(Y,iYv-YV) = («. *'2) (28,2)
(перечисление компонент в (28,2) по (19,15))х). Все написанные выражения вещественны.
Скалярность и псевдоскалярность величин S и Р очевидна из их спинорного представления:
S = !*ri + Ti*?, P = i(l*r\ — i\*l),
что как раз соответствует выражениям (19,7) и (19,8). Векторный Характер величин V^ очевиден после этого из уравнения Дирака: умножив равенство ptlyllty = m\J) слева на г|з, получим
СФРдТЧ) =
поскольку справа стоит скаляр, то скаляром должно быть и выражение в левой части.
