Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
задачи.
При р = р* матрица линеаризованной системы уравнений возмущенного
движения к диагональной форме не приводится. Ее собственные числа равны +
iY2/2. Линейное вещественное каноническое преобразование qt, pt -*¦ ql,
pi, задающееся при
УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ КРИТИЧЕСКОМ ОТНОШЕНИИ МАСС
131
помощи матрицы
43 /10 /Й5 /230 3/5
100 50 10 10
/1зо / 5 /10 /Ш
100 50 10 10
/230 3/5 /То 0
10 20 4
17 /10 И /Й5 /230 2/5"
50 100 20 5
приводит квадратичную часть #2 функции Гамильтона (3.1) (при е - 0) к
следующей нормальной форме:
, , | ,2 ,2 V^*2~ ' ' ' '
#2 (Яр Pi) = у (?1 + За ) + (giPs - ?s>Pi)- (5.2)
Проведя затем нелинейную нормализацию q), р) -*¦ qp р,• и проделав все
вычисления согласно формулам работы [87], приведенным, в § 4 главы 4,
получим гамильтониан возмущенного движения в виде
Н = Н2 (Qj,Pj) + (р(r) + pt) [A (pt Рг) + В (qiPi - Я2Р1) 4-
+ C(q\+ql)] + ... (5.3)
В (5.3) не выписаны члены выше четвертого порядка относитель-н0 Яр Pi-
Коэффициент А в гамильтониане (5.3) равен 0,603... Так как он
положителен, то, согласно § 4 главы 4, точки либрации формально
устойчивы.
ГЛАВА 8
УСТОЙЧИВОСТЬ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ
TI? Tf
§ 1. Нормальная форма функ ции Гамильтона
В этой главе проводится исследование устойчивости треугольных точек
либрации в случае пространственной круговой задачи трех тел [63]. То
есть, как и в исследовании предыдущей главы, орбита основных
притягивающих тел S и / предполагается круговой, но на тело Р бесконечно
малой массы в начальный момент времени действуют не только плоские
возмущения, но и возмущения, выводящие его из плоскости вращения тел S и
/. Теперь в гамильтониане возмущенного движения (3.1) предудущей главы
следует положить только е = 0, а координата д3 и импульс Рз нулю не
равны. И, таким образом, необходимо исследовать устойчивость положения
равновесия qi = Pi = 0 в атономной гамильтоновой системе с тремя
степенями свободы. Изучение этой системы основано на результатах теории
устойчивости многомерных гамильтоновых систем, изложенных в главе 5.
Для исследования устойчивости надо получить нормальную форму функции
Гамильтона возмущенного движения. Сначала необходимо провести
нормализацию квадратичной части Н2 функции Гамильтона. Соответствующая
линейная каноническая замена переменных для величин q(, pt (i = 1, 2 )
имеет вид (4.2) главы 7. Пространственные переменные q3 и р3 при линейной
нормализации не изменяются: q3 = q3, р3 = р3. Сделав еще
замену переменных по формулам (4.4) главы 7, в которых со3 = 1, получим
квадратичную часть функции Гамильтона в виде
L = copi - <o2r2 + со3г3 (со3 == 1). (1.1)
Если частоты о"; не связаны резонансными соотношениями до четвертого
порядка включительно, т. е. для целых чисел выполнено условие
п1&1 + н2й2 + га3(й3 Ф 0 при 0 <(гех| + [га2| + |га3| < 4, (1.2)
то при помощи преобразования Биркгофа qi, pi -*¦ ql, р'[, задаваемого
сходящимися степенными рядами, функция Гамильтона приводится к виду
Н = L (ги г., ra) +N(ru г2, г.) + О ((г, + г2 + г3)Ъ). (1.3)
НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА
133
Здесь L определено равенством (1.1), а функция N (ги г2, г3) такова:
N = с20ог\ + с110/у2 + Сюлг, + с0аога + сонгггз + <W3 (1.4) (2n=qi + pi
)•
Вычисления показывают, что условие (1.2) нарушается в нашей задаче в
области устойчивости линейной системы 0 <27р (1 - - р.) < 1 при пяти
значениях параметра р, соответствующих следующим пяти резонансным
соотношениям:
1) а"! - 2а"2 = 0, 2) а"! - За"2 = 0, 3) 2(c)2 - 1=0,
4) За>2 - 1=0, 5) 2а"! - а"2 - 1=0.
Учитывая тот факт, что Н3 и - четные функции q3, легко показать, что
наличие резонансных соотношений (3) - (5) не
40!
4
3
г
°оп- с№,,
- 4 - -а,оов -
- 3 - -0,004 -
- г -
1 **7. -ОЩ-г*-" О*
Рг Pi Р Р
Рг Pt Р Р
Рис. 7. Коэффициенты нормализованного гамильтониана, соответствующие
пространственным переменным.
приводит к появлению нулевых знаменателей при получении производящей
функции, задающей преобразование Биркгофа, и потому не мешает получению
нормальной формы (1.3). При резонансах (1) и (2) нулевые знаменатели
появляются. Соответствующими значениями р будут значения рх и р2,
рассмотренные в предыдущей главе в случае плоской круговой задачи. Было
показано, что при значениях р, равных pt и р2, в плоской задаче точки
либрации неустойчивы. Эта неустойчивость, конечно, остается и в
рассматриваемом сейчас случае пространственной задачи.
Пусть р Ф Pi (i = 1, 2). Тогда при всех остальных значениях р из области
0 < 27р (1 - р) <; 1 устойчивости в первом при-
134
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 8
ближении нормализованная до членов четвертого порядка включительно
функция Гамильтона будет иметь вид (1.3). При этом, конечно, при всех [х
с2оо = с20, с110 = сц, с020 = с02, а выражения для этих коэффициентов
получены в [111] и приведены в предыдущей главе. Для остальных
коэффициентов нормальной формы
(1.3) получаем после проведения довольно длительных выкладок следующие
