Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
L = О, N = 0, М = 0 (3.15)
при гх >0, г2 > 0, г3 > 0 для значений р. из интервалов (3.2) имеет
только тривиальное решение гх = г2 = г3 = 0.
Как только что было показано выше, первые два уравнения системы (3.15)
для значений р из интервалов (3. нетривиальное решение гх = а2г2, г3 -
р2г2, где новременно положительны. Подставив это решение в функцию М,
получим, что третье из уравнений системы (3.15) переходит в уравнение
М (а2Г2, г2,[р2г2) = F(p)r2 = 0,
(3.16)
где F(p) =М (а2, 1, р2). Если
функция Jp(p) в интервалах (3.2) не обращается в нуль, то система (3.15)
несовместна. График функции Jp(p) для значений р из ~4000-интервалов
(3.2) представлен на рис. 11. Функция F(p) в нуль не обращается. Таким
образом, система уравнений (3.15) для значений р, лежащих в интервалах
(3.2), имеет только тривиальное решение гх = г2 = г3 = 0.
Теперь возьмем какое-либо значение р из интервалов (3.2) и заметим, что
возможны только три случая: 1) когда нет резонанса между частотами (oi7
2) когда есть однократный резонанс А^сох + з
+ кг(.о2 + к3со3 = 0, 23 | кг | > 7 и 3) когда частоты связаны дву-1=1
мя резонансными соотношениями (3.3) (двукратный резонанс).
В первом случае имеет место формальная устойчивость согласно результатам
Мозера [157] (см. также § 2 пятой главы книги).
Рассмотрим второй случай. Если среди целых чисел (г = = 1,• 2, 3) есть
числа разных знаков, то опять, согласно работе Мозера [157], имеет место
формальная устойчивость. Пусть все числа к\ имеют одинаковый знак,
например, пусть все они положительны. Нетрудно проверить (см. также
[13]), что система с нормализованным во всех порядках гамильтонианом
(3.13) имеет три формальных интеграла:
(р', г) = const, (р", г) = const, Н - L = const, (3.17)
Рис. 11. Зависимости функции F от р.
142
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 8
где (р', к) = 0, (р", к) = 0, р'т = (р'г, р'г, р3), р"* = (р{, д, р3),
кт= (кг, к2, к3), гт= (гх, г2, г3). Из интегралов (3.17) составим
формальный интеграл G вида
G = (р\ г)4 + (p'f г)4 + (N + M+. . .)*. (3.18)
Слагаемые правой части интеграла (3.18) неотрицательны. Покажем, что в
нашем случае они могут обратиться в нуль только в начале координат. Это и
будет означать знакоопределенность формального интеграла G.
Легко видеть, что первые два слагаемых в (3.18) обращаются одновременно в
нуль только на луче г = рк (р > 0). На этом луче третье слагаемое имеет
вид
(Щкг,к2,к3)р* М(кх,к2,к3)р3 + . . .)а
и при достаточно малых р Ф 0 не равно нулю в силу несовместности системы
(3.15) в квадранте гг > 0, г2 > 0, г3 > 0 (заметим, что на луче г = рк
функция L тождественно равна нулю). Итак, во втором случае также имеет
место формальная устойчивость точек либрации.
В третьем случае, случае двукратного резонанса (3.3), мы располагаем
только двумя формальными интегралами:
(р, г) = const, Н - L = const, (3.19)
где (р, к') = 0, (р, к") = 0. Формальный интеграл, аналогичный интегралу
(3.18), имеет вид
G = (р, г)4 + (N + М + . . .)2. (3.20)
Первое слагаемое в (3.20) обращается в нуль уже не на луче, а на
плоскости г = рхк' -f- р2к". Второе слагаемое теперь уже может обратиться
в нуль, несмотря на несовместность системы уравнений (3.15) при гх >0, г2
]> 0, г3> 0. А поэтому мы и не можем показать (нашим способом) формальную
устойчивость в случае двукратного резонанса.
Проведенные рассуждения доказывают теорему.
Замечание. Наличие формальной устойчивости позволяет утверждать, что
неустойчивость по Ляпунову не обнаруживается при учете в разложении
функции Гамильтона членов до сколь угодно большого (но конечного)
порядка. А если и существуют траектории, по которым тело Р далеко уходит
от вершины равностороннего треугольника, то движение по ним происходит
крайне медленно.
Для потучения оценок времени "удержания" тела Р вблизи вершины
равностороннего треугольника можно было бы использовать изложенные в
пятой главе результаты Н. Н. Нехорошева по исследованию скорости диффузии
Арнольда. Заметим для этого, что несовместность системы (3.9) в
интервалах (3.1) и системы
КРИТИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ МАСС
143
(3.15) в интервалах (3.2) означает, что в этих интервалах выполнены
условия крутизны функций L + М и L М со-
ответственно, Но мы встречаемся со следующим затруднением. Н. Н.
Нехорошев показал справедливость экспоненциальной оценки скорости
диффузии Арнольда для аналитических гамильтонианов, а в нашем случае
движения вблизи положения равновесия, совпадающего с началом координат,
функция Гамильтона не является аналитической относительно п (есть
аналитичность только относительно "\fп). В автореферате работы [78]
утверждается, что и в этом последнем случае можно показать возможность
применения экспоненциальной оценки скорости диффузии Арнольда, если
исключить резонансы до некоторого, достаточно высокого, конечного
порядка. И тогда будет иметь место следующая оценка:
(21 [г* (V) - г* (0)]2)'/.<е (3.21)
4=i '
при всех значениях v (напомним, что v - истинная аномалия кеплеровского
