Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
устойчивости в линейном приближении и р Ф р15 р Ф р2, то
нормализованная во всех порядках функция Гамильтона запишется
в виде
Н = L + N + R(ru фг), (3.4)
где L и N определены равенствами (1.1) и (1.4), а формальный ряд R
начинается с членов не ниже пятого порядка относительно ]/г{. Угловые
переменные ф, будут содержаться в R только в виде комбинаций
+ к 2ф2 + к3 фз, (3.5)
где ki - целые числа, для которых выполнено равенство
- &2(r)2 Н~ ^3 = 0 (| | -Г | к31 -]- | к3 | 5). (3.6)
ФОРМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
137
Система с гамильтонианом (3.4) имеет очевидный формальный интеграл Н =
const, так как Н не зависит от времени. Кроме того, учитывая (3.5) и
(3.6), нетрудно проверить, что выражение L тоже будет интегралом
(формальным).
Составим формальный интеграл G в виде
G = L4 + (Я - L)\ (3.7)
В разложении G = G8 + G9 + . . . функция G8 имеет вид
G8 = L* + N2. (3.8)
Оба слагаемых в правой части равенства (3.8) неотрицательны.
Поэтому функция Gs будет знакоопределенной в окрестности
Рис. 8. Зависимость коэффициентов аао, аи и ат от р.
начала координат, если при rL >0, г2 > 0, г3 > 0 система уравнений
L = 0, N = 0 (3.9)
имеет только нулевое решение т\ = г2 = г3 = 0. Исследуем систему
уравнений (3.9). Из первого уравнения L - 0 найдем выражение г3 через и
г2 и подставим его во второе уравнение. Тогда система уравнений (3.9)
перепишется так:
г3 = С02г2 - WjTx, О20г1 "Ь а11г1г2 4" Яо2г2 = 0- (3.10)
В системе уравнений (3.10) введены следующие обозначения:
, 2
(r)20 - С2оо - сЮ1(c)х + Со02(c)1,
а11 - с110 + Cj.01(r)2 - Соцйх - 2coo2(Ui(02i
Й02 = С020 + Coxitt"2 + Соо2(r)2.
Графики коэффициентов а20, ап и а02 представлены на рис. 8. Коэффициент
а2о ПРИ Р = Р** = 0,002у8 обращается в нуль.
138
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 8
При этом значении р. коэффициенты системы уравнений (3.10) таковы:
(c)! = 0,99042, ю2 = 0,13811, Ъ = -0,39924, с = 0,56461
и система (3.10) имеет две серии решений:
1) гх произвольно, г2 = 0, г3 = -со^;
2) гг = 1,4142 г2, г2 произвольно, г3 = -1,2625г2.
Эти решения не удовлетворяют неравенствам > 0, г2 0, г3 > 0. Поэтому при
р = р** система уравнений (3.10) при гх >0, г2 > 0, г3 > 0 имеет только
нулевое решение.
При р ф р** (и, конечно, р Ф pj и р Ф р2) решения системы уравнений
(3.10) могут быть описаны следующим образом:
ri = а;г2> г3 = Pjг2, г2 произвольно (/ = 1, 2),
- %1 "Ь а11 - а11 ^ а11 /'"20"02. ,п ...
а1 = 2^ ' °а= 2^ '
Ру = а>2 - а jfflx.
Система уравнений (3.10) тогда и только тогда имеет ненулевое решение при
гх > 0, г2 > 0, г3 0, когда величины аи - 4а20о02, ау, Р/ одновременно
неотрицательны.
Расчеты показывают, что величина а\у - 4а20а02 положительна всегда, ах и
рг всегда противоположны по знаку, а величины а2 и р2 одновременно
положительны только при выполнении неравенств
0,010913. . . < р < 0,016376. . ., р Ф р2 = 0,013516. . . (3.12)
Таким образом, формальный интеграл (3.7) будет знакоопределенным при всех
р из области устойчивости в первом приближении, кроме значений рх и р2
(исключенных из рассмотрения с самого начала, так как вопрос об
устойчивости при р = рг и р - р2 уже решен), а также значений р,
принадлежащих интервалам (3.2). Таким образом, формальная устойчивость
точек либраций для значений р, лежащих в интервалах (3.1), доказана.
Рассмотрим теперь интервалы (3.2). Для доказательства утверждения теоремы
о формальной устойчивости в интервалах
(3.2) надо исследовать коэффициенты при членах шестого порядка
относительно Yri в нормальной форме функции Гамильтона возмущенного
движения.
Нормализованная до членов шестого порядка включительно функция Гамильтона
нашей задачи имеет такой вид:
H = L + N+M + 0 ((гх + г2 + /¦")''.), (3.13)
где L и N определены равенствами (1.1) и (1.4), а функция
ФОРМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
139
М(гигг,га) имеет такой вид:
М = С300Г1 -f- С,лйг\г2 СХ20Г1Г2 c030r2 + c2Qlr\r3 + cll\rlrZr3 "f"
+ c"2i^2r3 ~b cmirir3 + С012Г2Г3 + Сооз^з- (3-14) Нормальная форма
функции Гамильтона будет иметь вид (3.13),
порядка в разложении функции Гамильтона.
если частоты оц (i = 1, 2, 3) не связаны резонансными соотношениями до
шестого порядка включительно. В интересующих сейчас нас интервалах (3.2)
изменения параметра р эти условия отсутствия резонанса, как показали
расчеты, выполнены.
140
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ (ГЛ. 8
Коэффициенты формы М третьего порядка (по г*) в нормальной форме были
получены при любых (нерезонансных) значениях Ц. Эта работа проводилась на
ЭВМ. Графики коэффициентов функции М представлены на рис. 9 и 10.
W-
Рис. 10. Коэффициенты нормальной формы совокупности членов шестого
порядка, соответствующие пространственным переменным.
Прежде чем строить и исследовать формальный интеграл, нужный для
доказательства утверждения теоремы о формальной устойчивости точек
либрации в интервалах (3.2), покажем,
131
ФОРМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
141
2) допускают "2 и р2 ОД-
то
следуя 167], что система уравнений
