Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беляшкин А.Г. -> "Методика решения задач механики" -> 47

Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.

Беляшкин А.Г., Матвеев А.Н., Сараева И.М. Методика решения задач механики — МГУ, 1980. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikaresheniyazadachmehaniki1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 203 >> Следующая

с20 ¦
с02
144(1 - 2со2)2 (1 - 5со2) <0!% (64со2со " 6(1 - 2со2) (1 - 2со|) (
ш(r)(124со* -696со| + 81)
с ________________________<о1со2(64(о2(о2 + 43)_______________
Cll~~ 6(1 - 2со2)(1 - 2со|)(1 - Бей2)(1 - 5со2) '
144 (1 - 2со|)2 (1 - 5со|)
Согласно Арнольду и Мозеру (см. главу 4) при выполнении неравенства Dз =
с20о>2 + + c02tt"i Ф 0 имеет место устойчи-
вость по Ляпунову. При помощи (4.6) в статье [111] получено такое
выражение для D3:
D 644шХ-541соК + 36
3 16(1 - 4ш2со2)(4 - 25со2со2)
Рассматривая числитель выражения для D3 как биквадратный многочлен
относительно произведения частот coxtOa и используя уравнение (4.3),
легко получить [111], что D3 обращается в нуль только при одном значении
р из интервала (2.2):
ц = = 0,0109136. . . (4.8)
На рис. 6 представлены график функций с20, сп, с02 и D3 в зависимости от
р.
Таким образом, применив в рассматриваемой задаче результаты Арнольда и
Мозера по теории гамильтоновых систем, Депри показали [111], что
треугольные точки либрации устойчивы при всех р из области (2.2), кроме,
быть может, трех значений рг (i = = 1,2, 3), при которых неприменима
теорема Арнольда-Мозера.
Рассмотрим устойчивость при этих трех исключительных значениях параметра
р. При р = р2 (co* = 2юг) нормализованная до членов третьего порядка
функций Гамильтона имеет вид [56, 63]
н = 03+! - <Й2Г2 -+ а+2 У rx sin (<рх + 2ф2) +
+ IVaV^ri cos (ф! + 2ф2) + О ((+ + г2)2), (4.9)
где ах = 1,322.. ., = 0,298. . . Так как а\-У $\ф 0,
то,
согласно § 2 главы 4, имеет место неустойчивость.
§ 41
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ
121
При щ = р2 (й1 = Зю2) нормализованная функция Гамильтона такова:
Я = юл - ю2г2 + с21)гх + спгхг2 + с02г2 + а2г2Уrxr2 sin (фх +
+ Зф2) + р2г2У ггг2 cos (ф! + Зф2) + О ((гх + г2)'/"), (4.10)
где о>! = 0,948 ю2 = 0,316..., с20 = 0,137..., сп = -2,176 . . ., с02 =
0,246. . ., а2 = -1,461. . - -4,235... Имеем
I с20 + Зсп + 9с02 | = 4,170 . . ., з/зигТ(r) *= 23,282...
Так как 3V 3 ("1+ |32) | с20 + Зсп + 9с02 | , то,
согласно § 3
главы 4, имеет место неустойчивость.
ьог" 40
! го
-20
I I -40
! 1
-40 -
Рис. 6. Коэффициенты нормализованного гамильтониана плоской задачи и
условие устойчивости Л3 ф 0.
Теперь рассмотрим устойчивость при [х = [х3. Это нерезонансный случай.
Для решения задачи об устойчивости здесь необходимо произвести
нормализацию гамильтониана до членов выше четвертого порядка, так как
члены до четвертого порядка включительно вопроса об устойчивости не
решают. Здесь надо применить теорему об устойчивости, приведенную в § 5
гл. 4.
Оказалось [56], что для решения вопроса об устойчивости при [х = Цз
достаточно учесть в гамильтониане члены не выше шестого порядка. При этом
в нормализованной до членов шестого порядка включительно функции
Гамильтона коэффициенты имеют такие числовые значения (нормализация
проводилась на ЭВМ):
(c)j = 0,959. . . , = -1,389. . . = 7,794. . . ,
cii
С21
Ю! = 0,281. . . ,
с02 = 0,398. . . , с12 = -209,931.
С20
С30
с03
0,097..., -0,219. . . , -14,528. . .
5 А. П. Мариеев
130
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. 7
Для этих значений коэффициентов выполняются неравенства (c)1 ^ (c)2) (c)1 ^
2(c)2, (c)J 3(c)2? (c)1 ~f~ ^(c)2) (c)1 "t~ 5(c)2, 2(c)j ^ 3(c)2, Сзо(r)2 + С21(r)2(r)1 + С12Ю2Ю?
+ С03(r)1 = -66,631. . . ф 0.
Поэтому при р = р3 имеет место устойчивость.
Проведенные рассмотрения показывают справедливость сформулированной в
начале параграфа теоремы об устойчивости треугольных точек либрации
плоской круговой ограниченной задачи трех тел.
§ 5. Об устойчивости точек либрации
при критическом отношении масс
В предыдущем параграфе доказана теорема, полностью решающая задачу об
устойчивости треугольных точек либрации для всех значений р, лежащих
внутри области (2.2) устойчивости в первом приближении. Известный интерес
представляет также задача об устойчивости при граничных значениях р
области (2.2).
При р = 0 вопрос решается просто, так как задача трех тел при этом
переходит в задачу двух тел, а задача об устойчивости точек либрации
сводится к исследованию устойчивости движения материальной точки вокруг
неподвижного притягивающего центра, а такое движение, как известно,
неустойчиво, так как сколь угодно малое возмущение начальных условий
приводит к изменению периода кеплеровского движения; здесь имеет место
лишь орбитальная устойчивость (по этому вопросу см. также работу А. Г.
Сокольского [85]).
Исследование устойчивости движения при
р = р* = (9 - У69)/18 = 0,0385208. . .
(критическое отношение масс или, как иногда говорят, критическое
отношение масс Рауса) представляет значительные трудности. При р = р*
частоты линейных колебаний равны, а линеаризованная система, как уже
отмечалось в главе 1, неустойчива. Исследование устойчивости точек
либрации при р=р* в нелинейной постановке задачи проведено А. Г.
Сокольским в работе [88] как для плоской задачи, так и для
пространственной. Кратко опишем полученные результаты в случае плоской
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed